Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{bc}{a^2+1}=\frac{bc}{a^2+b^2+a^2+c^2}\le\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^2c^2}{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)}}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)\)
Tương tự:
\(\frac{ac}{b^2+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}\right)\) ; \(\frac{ab}{c^2+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Em có cách này nhưng không biết đúng không.Anh check lại ạ,em mới lớp 7 thôi!
Bổ sung đk a,b,c >= 0 (hay a,b,c không âm)
Áp dụng BĐT Cô si (AM-GM),ta có:
\(a^2+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2.1}{4}}=a\)
Tương tự: \(b^2+\frac{1}{4}\ge b;c^2+\frac{1}{4}\ge c\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên suy ra \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Hoặc là dùng BĐT Bunhiacopxki chắc cũng được ạ!
Ta có: \(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=\frac{9}{4}\)
Suy ra \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(\frac{9}{4}\right)}{3}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Ý 3 bạn bỏ dòng áp dụng....ta có nhé
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}b+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}c+c^2\right)+\)\(\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{d}d+d^2\right)+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)+\left(\frac{a}{2}-c\right)+\)\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=d=0
6) Sai đề
Sửa thành:\(x^2-4x+5>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\)
7) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b\ge2.\sqrt{ab}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2.\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\frac{cb}{c+b}\le\frac{cb}{2.\sqrt{cb}}=\frac{\sqrt{cb}}{2}\)
\(\frac{ca}{c+a}\le\frac{ca}{2.\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Cộng vế với vế của các BĐT trên ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
1)\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2\ge xy\) ( vì x;y\(\ge0\))
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
2) \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
3) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)\(\forall a\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\ge a\forall a\)
\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\)\(\forall b\Leftrightarrow\frac{b^2}{2}+\frac{1}{2}\ge b\forall b\)
\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\forall a;b\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge ab\forall a;b\)
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:
\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
4) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2-2.a.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[b^2-2.b.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[c^2-2.c.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a;b;c\)( luôn đúng)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/2
\(1,\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\))
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge o\)
\(VT\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)
\(VT\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c+\frac{9}{a+b+c}\right)^3=\frac{100}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)