Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo BĐT AM-GM ta có:
\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2\left(1\right)\)
Do 2 BĐT trên cùng có dấu "=" khi \(a=b=c\)
Dễ dàng theo Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\left(2\right)\). Giờ cần c/m
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)
Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
Nên cũng chỉ cần chỉ ra
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
Mà \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\) (cmt)
\(\Rightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^2\)\(\ge\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
Dễ thấy \(a+b+c\ne0\) suy ra \(a+b+c\ge\)\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
BĐT cuối đúng theo AM-GM (cmt) \((3)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) ta có ĐPCM
P/s:bài này liếc phát ra luôn mà quanh đi quẩn lại chỉ mấy BĐT cơ bản :D
C/m lại phần đầu
Cần c/m \((a^2+b^2+c^2)(ab+ac+bc)+\sum_{cyc}(a^2-b^2)^2\geq(a^2+b^2+c^2)^2\)
\(\Leftrightarrow \sum_{cyc}(a^4+a^3b+a^3c-4a^2b^2+a^2bc)\geq0\)
\(\Leftrightarrow \sum_{cyc}(a^4-a^3b-a^3c+a^2bc)+2\sum_{cyc}ab(a-b)^2\geq0\)
Đúng theo Schur
Áp dụng BĐT Mincopski ta có:
\(VT=\sqrt{a^2+\left(1-b\right)^2}+\sqrt{b^2+\left(1-c\right)^2}+\sqrt{c^2+\left(1-b\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(3-a-b-c\right)^2}\)
Đặt \(a+b+c=x>0\) thì ta có:
\(\ge\sqrt{x^2+\left(3-x\right)^2}=\sqrt{2x^2-6x+9}\)
\(=\sqrt{2\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{2}}\ge\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3.3=9\)hay \(a+b+c\le3\)(do \(a^2+b^2+c^2=3\))
Theo bất đẳng thức Mincopxki và bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được:
\(\sqrt{\frac{9}{\left(a+b\right)^2}+c^2}+\sqrt{\frac{9}{\left(b+c\right)^2}+a^2}+\sqrt{\frac{9}{\left(c+a\right)^2}+b^2}\)
\(\ge\sqrt{9\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{9\left[\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\right]^2+\left(a+b+c\right)^2}\)
Đến đây, ta cần chứng minh rằng: \(\sqrt{9\left[\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\right]^2+\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{3\sqrt{13}}{2}\)(*)
Đặt \(t=a+b+c\Rightarrow0< t\le3\)
Khi đó, (*) trở thành \(\sqrt{9\left(\frac{9}{2t}\right)^2+t^2}\ge\frac{3\sqrt{13}}{2}\Leftrightarrow9\left(\frac{9}{2t}\right)^2+t^2\ge\frac{117}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(t-3\right)\left(2t-9\right)\left(t+3\right)\left(2t+9\right)}{4t^2}\ge0\)(đúng với mọi \(0< t\le3\))
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
Bđt Bu-nhia-cop-xki \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\), đẳng thức xảy ra khi \(ay=bx\)
a.
\(\left(2x+3y\right)^2=\left(\sqrt{2}.\sqrt{2}x+\sqrt{3}.\sqrt{3}y\right)^2\le\left(2+3\right)\left(2x^2+3y^2\right)=5^2\)
\(\Rightarrow-5\le2x+3y\le5\)
b.
\(\sqrt{a+c}.\sqrt{b+c}+\sqrt{a-c}.\sqrt{b-c}\le\sqrt{a+c+a-c}.\sqrt{b+c+b-c}\)
\(=\sqrt{2a}.\sqrt{2b}=2\sqrt{ab}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{\sqrt{a+c}}{\sqrt{a-c}}=\frac{\sqrt{b+c}}{\sqrt{b-c}}\), hay \(a=b\)
Thử lại với a = b thì \(VT=2a=2\sqrt{ab}=VP>\sqrt{ab}\) nên đề đã ra sai vế phải của bđt.
c.
bđt \(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)
d.
bđt \(\Leftrightarrow\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\le a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}\)
\(\Leftrightarrow ac+bd\le\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{c^2+d^2}\)
bđt trên luôn đúng vì theo bđt Bu-nhia-cop-xki, ta có:
\(\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge\sqrt{\left(ac+bd\right)^2}=\left|ac+bd\right|\ge ac+bd\)
sửa đề\(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}-\frac{2}{1+xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)( luôn đúng với \(x,y\ge1\))
Đpcm
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
áp dụng bđt bunhia copxki ta có:
\(\sqrt{\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)}=\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}>=\sqrt{\left(a+b\right)^2}=a+b\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2}>=\frac{a+b}{\sqrt{2}}\)
\(\sqrt{\left(1+1\right)\left(b^2+c^2\right)}=\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}>=\sqrt{\left(b+c\right)^2}=b+c\Rightarrow\sqrt{b^2+c^2}>=\frac{b+c}{\sqrt{2}}\)
\(\sqrt{\left(1+1\right)\left(a^2+c^2\right)}=\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)}>=\sqrt{\left(a+c\right)^2}=a+c\Rightarrow\sqrt{a^2+c^2}>=\frac{a+c}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{a^2+c^2}>=\frac{a+b+b+c+a+c}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt{2}}=\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2\left(a+b+c\right)}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\)(đpcm)
dấu = xảy ra khi a=b=c