Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Do \(a\geq 1; b\geq 2; c\geq 3\Rightarrow a-1, b-2, c-3\geq 0\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm ta có:
\(\left\{\begin{matrix} (a-1)+4\geq 2\sqrt{4(a-1)}=4\sqrt{a-1}\\ (b-2)+9\geq 2\sqrt{9(b-2)}=6\sqrt{b-2}\\ (c-3)+16\geq 2\sqrt{16(c-3)}=8\sqrt{c-3}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế và rút gọn thu được:
\(a+b+c+23\geq 4\sqrt{a-1}+6\sqrt{b-2}+8\sqrt{c-3}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a-1=4\\ b-2=9\\ c-3=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5\\ b=11\\ c=19\end{matrix}\right.\)
Ta có BĐT: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) (bạn tự c/m,không làm được thì bảo mình :v)
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\) (1)
Mặt khác: Theo BĐT Bunhiacopxki:
\(\left(1a+2b\right)^2\le\left(1^2+\sqrt{2}^2\right)\left(a^2+\sqrt{2}^2b^2\right)=3.3c^2=9c^2\)
Suy ra \(a+2b\le3c\)
Mặt khác,theo đề bài \(a^2+2b^2=3c^2\Rightarrow a+2b=3c\)
Thay vào (1) suy ra \(VT\ge\frac{9}{a+2b}=\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}^{\left(đpcm\right)}\)
Bài này ngược dấu hay sao ý:
Ta dự đoán dấu "=" xảy ra tại a = b = c =1
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: \(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\) (1)
Ta có: \(a^2+1\ge2a;2b^2+2\ge4b\Rightarrow a^2+2b^2+3=3c^2+3\ge2\left(a+2b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{3c^2+3}{2}\ge a+2b\).Suy ra:\(\frac{9}{a+2b}\ge\frac{18}{3c^2+3}=\frac{6}{c^2+1}\) (2)
Ta sẽ c/m: \(\frac{6}{c^2+1}\ge\frac{3}{c}\).Ta có: \(VT=\frac{6}{c^2+1}=6\left(1-\frac{c^2}{c^2+1}\right)=6-\frac{6c^2}{c^2+1}\ge6-\frac{6c^2}{2c}=6-3c\) (3)
Ta sẽ c/m: \(6-3c\ge\frac{3}{c}\Leftrightarrow3c+\frac{3}{c}\le6\).Mặt khác,theo AM-GM
\(3c+\frac{3}{c}\ge2.\sqrt{3c.\frac{3}{c}}=2.3=6\Rightarrow\) mâu thuẫn?
Vì \(a\in\left[-2;5\right]\Rightarrow\left(a+2\right)\left(a-5\right)\le0\Leftrightarrow a^2-3a-10\le0\Leftrightarrow a^2\le3a+10\)(1)
CMTT \(b^2\le3b+10\Rightarrow2b^2\le6b+20\left(2\right)\) ; \(c^2\le3c+10\Leftrightarrow3c^2\le9c+30\)(3)
Từ (1) (2) và (3) => \(a^2+2b^2+3c^2\le3\left(a+2b+3c\right)+60\le3.2+60=66\)
BĐT đc cm
Web có hơn 600 nghìn câu hỏi mà toàn thấy câu hỏi giống nhau với câu thấy nhiều đến chảy hết nước mắt rồi