Cho các số thực a, b, c sao cho a + b + c = 3; \(a^2+b^2+c^2=29\) và abc=11. Tính

\(a^2+b^2+c^2=29\) và abc=11. Tính

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Mua vip

NT

Nguyễn Thu Trà

3 tháng 10 2018

Cho các số thực a, b, c sao cho a + b + c = 3; \(a^2+b^2+c^2=29\) và abc=11. Tính \(A=a^5+b^5+c^5\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

11 tháng 4 2023

loading...

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

1

123456

11 tháng 8 2016 - olm

cho abc\(\ne0\)và \(\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5\end{cases}}\)

tính \(a^2+b^2+c^2\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

ML

Mr Lazy

11 tháng 8 2016

Ta có: \(c=-a-b\), tính được các đại lượng:

\(a^3+b^3+c^3=a^3+b^3-\left(a+b\right)^3=-3ab\left(a+b\right)\)

\(a^5+b^5+c^5=a^5+b^5-\left(a+b\right)^5=-5ab\left(a^3+b^3\right)-10a^2b^2\left(a+b\right)\)

\(=-5ab\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)-10a^2b^2\left(a+b\right)\)

2 biểu thức trên bằng nhau nên:

\(5ab\left(a+b\right)\left[a^2+b^2-ab+2ab\right]=3ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b=0\text{ (1)}\\5\left(a^2+b^2+ab\right)=3ab\text{ (2)}\end{cases}}\text{ }\left(do\text{ }ab\ne0\right)\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow5a^2+5b^2-2ab=0\Leftrightarrow4a^2+4b^2+\left(a-b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=0\) --> loại

Vậy \(a+b=0\)

\(\Rightarrow c=-a-b=0\)--> loại

Vậy ko tồn tại a, b, c thỏa giả thiết bài toán

TN

Thu Nguyễn

4 tháng 12 2018 - olm

1. Cho \(x,y,z>1\) và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2\) . Cmr \(\sqrt{x+y+z}\ge\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\) 2. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=6\) . Tính Min của \(A=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\)3. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\) . Tính min của \(B=a+b+c+\dfrac{1}{abc}\)4. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c+ab+bc+ac=6\) . Tính Max...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

5

I

Incursion_03

5 tháng 12 2018

Câu 3. Dự đoán dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Dùng phương pháp chọn điểm rơi thôi :)

LG

Áp dụng bđt Cô-si được \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

\(\Rightarrow1\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{27}\ge a^2b^2c^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{27}}\ge abc\)

Khi đó :\(B=a+b+c+\frac{1}{abc}\)

\(=a+b+c+\frac{1}{9abc}+\frac{8}{9abc}\)

\(\ge4\sqrt[4]{abc.\frac{1}{9abc}}+\frac{8}{9.\frac{1}{\sqrt{27}}}\)

\(=4\sqrt[4]{\frac{1}{9}}+\frac{8\sqrt{27}}{9}=\frac{4}{\sqrt[4]{9}}+\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Vậy .........

KS

kudo shinichi

4 tháng 12 2018

2, \(A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)

\(A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)

\(A=\left[\frac{a^2}{b+c}+\frac{\left(b+c\right)}{4}\right]+\left[\frac{b^2}{a+c}+\frac{\left(a+c\right)}{4}\right]+\left[\frac{c^2}{a+b}+\frac{\left(a+b\right)}{4}\right]-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(A\ge2.\sqrt{\frac{a^2}{4}}+2.\sqrt{\frac{b^2}{4}}+2.\sqrt{\frac{c^2}{4}}-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)

\(A\ge a+b+c-\frac{6}{2}\)

\(A\ge6-3\)

\(A\ge3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b+c}=\frac{b+c}{4}\Leftrightarrow4a^2=\left(b+c\right)^2\Leftrightarrow2a=b+c\)(1)

\(\frac{b^2}{a+c}=\frac{a+c}{4}\Leftrightarrow4b^2=\left(a+c\right)^2\Leftrightarrow2b=a+c\)(2)

\(\frac{c^2}{a+b}=\frac{a+b}{4}\Leftrightarrow4c^2=\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow2c=a+b\)(3)

Lấy \(\left(1\right)-\left(3\right)\)ta có:

\(2a-2c=c+b-a-b=c-a\)

\(\Rightarrow2a-2c-c+a=0\)

\(\Leftrightarrow3.\left(a-c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a-c=0\Leftrightarrow a=c\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}b=c\\a=b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a=b=c=2\)

Vậy \(A_{min}=3\Leftrightarrow a=b=c=2\)

TT

Tuyển Trần Thị

7 tháng 11 2017 - olm

Câu hỏi hay

cho a,b,c là các số thực dương tm abc=1

cmr \(\frac{a}{a^2+5}\) \(+\frac{b}{b^2+5}+\frac{c}{c^2+5}\le\frac{1}{2}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

3

TN

Thắng Nguyễn

7 tháng 11 2017

Đặt \(x=a^{\frac{1}{3}};y=b^{\frac{1}{3}};z=c^{\frac{1}{3}}\Rightarrow xyz=1\) và:

\(BDT\Leftrightarrow\frac{x^3}{x^6+5}+\frac{y^3}{y^6+5}+\frac{z^3}{z^6+5}\le\frac{1}{2}\)

Ta có BĐT phụ \(\frac{4x^3}{x^6+5}\le\frac{x^3+1}{x^6+x^3+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(3x^6+6x^3+5\right)}{\left(x^6+5\right)\left(x^6+x^3+1\right)}\le0\forall0< x\le1\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{x^3+1}{x^6+x^3+1}+\frac{y^3+1}{y^6+y^3+1}+\frac{z^3+1}{z^6+z^3+1}\right)\)

Cần chứng minh \(\frac{x^3+1}{x^6+x^3+1}+\frac{y^3+1}{y^6+y^3+1}+\frac{z^3+1}{z^6+z^3+1}\le2\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^6}{x^6+x^3+1}+\frac{y^6}{y^6+y^3+1}+\frac{z^6}{z^6+z^3+1}\ge1\)

Có dạng \(\frac{x^{2k}}{x^{2k}+x^k+1}+\frac{y^{2k}}{y^{2k}+y^k+1}+\frac{z^{2k}}{z^{2k}+z^k+1}\ge1\forall xyz=1\)

Với k=1 thì có BĐT Câu hỏi của Vũ Tiền Châu - Toán lớp 9 | Học trực tuyến tương tự với bài này (ko biết AD đã fix lỗi ko dán dc link học 24 vào olm chưa, nếu chưa thì ib t gửi full link )

TN

Tiểu Nghé

7 tháng 11 2017

Q.lý nào onl duyệt giúp e với

Q

QUan

21 tháng 9 2016 - olm

Cho các số thực \(a,b,c>0\)thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\)

\(cmr\): \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0

TT

Thanh Tâm

30 tháng 10 2016 - olm

cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. CMR:\(\frac{1}{\sqrt{a^5+b^2+ab+6}}+\frac{1}{\sqrt{b^5+c^2+bc+6}}+\frac{1}{\sqrt{c^5+a2+ca+6}}\)\(\le\)\(1\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

6

TN

Thắng Nguyễn

30 tháng 10 2016

Ta có:\(a^5+ab+b^2\ge3a^2b\)

Tương tự ta có:

\(VT\le\frac{1}{\sqrt{3ab\left(a+2c\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3bc\left(b+2a\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3ca\left(c+2b\right)}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\sqrt{\frac{c}{c+2a}}+\sqrt{\frac{a}{b+2a}}+\sqrt{\frac{b}{2b+c}}\right)\)

Ta cũng có:\(a+2c=a+c+c\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{a}+2\sqrt{c}\right)^2\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+2\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+2\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}+2\sqrt{b}}\)

Đặt \(x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}};y=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}};z=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{b}};xyz=1\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\)

Giả sử \(xy\le1\) thì \(z\ge1\)

Ta có: \(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\frac{x}{2}+1}+\frac{1}{\frac{y}{2}+1}\right)+\frac{1}{z+2}\)

\(\le\frac{1}{1\frac{\sqrt{xy}}{2}}+\frac{1}{z+2}\le1\)(Đpcm)

Dấu = khi \(a=b=c=1\)

TT

Thanh Tâm

30 tháng 10 2016

sao chứng minh đc \(a^5+ab+b^2\ge3a^2b\)vậy bạn

LT

Lê Tài Bảo Châu

25 tháng 10 2020 - olm

Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn các điều kiện \(\left(a+c\right)\left(b+c\right)=4c^2\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P=\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{bc+ca}\)Bài 2: Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=0 và \(x^2+y^2+z^2=1\). Tìm GTLN của biểu thức \(P=x^5+y^5+z^5\)Bài 3: Cho a,b,c dương thỏa mãn \(a+b+c=1.\)Tìm...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

3

KN

Kiệt Nguyễn

25 tháng 10 2020

Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))

Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị

KN

Kiệt Nguyễn

26 tháng 10 2020

Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)

Khi đó \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)

Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)

Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)

Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)

Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)

Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))

Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1

NT

Nguyễn Thị Hằng

4 tháng 12 2018

1. Cho \(x,y,z>1\) và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2\) . Cmr \(\sqrt{x+y+z}\ge\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\) 2. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=6\) . Tính Min của \(A=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\) 3. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\) . Tính min của \(B=a+b+c+\dfrac{1}{abc}\) 4. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c+ab+bc+ac=6\) . Tính Max của \(C=abc\) 5. Cho...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

3

PM

Phung Minh Quan

5 tháng 12 2018

giải tạm 1 bài z -,-

2) Cauchy-Schwarz dạng Engel :

\(A=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{6}{2}=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=2\)

Chúc bạn học tốt ~

T

tthnew

8 tháng 9 2019

4/ Ta có: \(6=a+b+c+ab+bc+ca\ge3\left(\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}+\sqrt[3]{abc}\right)\)

Đặt \(\sqrt[3]{abc}=t\Rightarrow t^2+t\le2\Rightarrow t\le1\Rightarrow t^3=C=abc\le1\)

Vậy...

5/ \(D\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3.\left[\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\right]^3=\frac{512}{729}\)

Vậy ...

P/s: Em không chắc

PH

Phạm Hà Chi

19 tháng 10 2018 - olm

1.Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn a+b+c=0. CMR:

a) \(a^3+b^3+c^3⋮3abc\)

b)\(a^5+b^5+c^5⋮5abc\)

2.Cho a,b,c là các số nguyên dương sao cho a+1,b+2007 chia hết cho 6.CMR:\(P=4^a+a+b⋮6\)

3.Cho \(A=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-abcvớia,b,c\inℤ.CMR:a+b+c⋮4\Rightarrow A⋮4\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0

Q

QUan

29 tháng 9 2016 - olm

Cho các số thực a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\)

CMR \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

2

LT

Le Thi Khanh Huyen

29 tháng 9 2016

Ta có :

\(a^2+b^2+c^2-2bc-2ca+2ab\)

\(=\left(a+b-c\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-2bc-2ca+2ab\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge2bc+2ca-2ab\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a+b=c\)

Mà \(\frac{5}{3}< \frac{6}{3}=2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\)

\(\Rightarrow2bc+2ac-2ab\le a^2+b^2+c^2< 2\)

\(\Rightarrow2bc+2ac-2ab< 2\)

Do a ,b , c > 0

\(\Rightarrow\frac{2bc+2ac-2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)

\(\Rightarrow\frac{2bc}{2abc}+\frac{2ac}{2abc}-\frac{2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)

Vậy ...

CV

Chu Văn Long

29 tháng 9 2016

Ta có:\(\left(a+b-c\right)^2\ge0\)(với a,b,c > 0)

<=> \(a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\ge0\)

<=> \(bc+ac-ab\le\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{5}{6}< 1\)

Chia 2 vế của bđt cho abc >0 ta dc

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)