Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đặt \(S=\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4c^2+1}+\frac{c}{4a^2+1}\)
\(=\frac{a^3}{4a^2b^2+a^2}+\frac{b^3}{4b^2c^2+b^2}+\frac{c^3}{4a^2c^2+c^2}\ge\frac{\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)^2}{4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2+a^2+b^2+c^2}\)
xét hiệu:
1-4(a2b2+b2c2+c2a2)-a2-b2-c2
=2ab+2bc+2ca-4(a2b2+b2c2+c2a2)
=2ab(1-2ab)+2bc(1-2bc)+2ca(1-2ca)
ta có:
\(2ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\le\frac{1}{2};2bc\le\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\le\frac{1}{2};2ca\le\frac{\left(c+a\right)^2}{2}\le\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2ab\left(1-2ab\right);2bc\left(1-2bc\right);2ca\left(1-2ca\right)\ge0\)
\(\Rightarrow1\ge4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)^2}{4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+a^2+b^2+c^2}\ge\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4c^2+1}+\frac{c}{4a^2+1}\ge\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)^2\)
=>đpcm
dấu"=" xảy ra khi 1 số=1;2 số còn lại =0
Ta có \(\sqrt{1+a}\le\frac{a\:+1+1}{2}=\frac{a+2}{2}\)
Tương tự \(\sqrt{1+b}\le\frac{b+2}{2}\)
\(\sqrt{1+C}\le\frac{c+2}{2}\)
Từ đó ta có \(\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}+\sqrt{1+c}\)<= \(\frac{a+b+c+6}{2}=\frac{7}{2}\)= 3,5
Bạn alibaba nguyễn hình như đọc không kĩ đề thì phải, ở đây ng ta bảo chứng minh bé hơn đâu phải bé hơn hoặc bằng đâu mà bạn dừng lại ở đó không giải tiếp ? ĐOạn sau các bạn làm như này nhé :
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a+1=1\\b+1=1\\c+1=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=0\\c=0\end{cases}}}\)(Vô lý)
vậy dấu "=" không xảy ra => \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}< 3,5\)
bài này hay đấy
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm, ta có :
\(\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}.\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}.\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}}=3\)
Chứng minh \(\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\le3+a+b+c\)( 1 )
đặt \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)( x,y,z \(\ge\)0 )
do a,b,c là số nguyên
Nếu a = b = c = 0 thì x = y = z = 0 nên ( 1 ) đúng
Nếu a,b,c không đồng thời bằng 0 \(\Rightarrow\)x+ y + z \(\ge\)1
Ta có : VT ( 1 )
\(\Leftrightarrow\frac{\left(1+x\right)\left(1+y\right)-\left(1+x\right)y}{1+y}+\frac{\left(1+y\right)\left(1+z\right)-\left(1+y\right)z}{1+z}+\frac{\left(1+z\right)\left(1+x\right)-\left(1+z\right)x}{1+z}\)
\(=3+x+y+z-\left[\frac{\left(1+x\right)y}{1+y}+\frac{\left(1+y\right)z}{1+z}+\frac{\left(1+z\right)x}{1+x}\right]\)
\(\le3+x+y+z-\frac{\left(1+x\right)y+\left(1+y\right)z+\left(1+z\right)x}{1+x+y+z}=3+x+y+z-\frac{x+y+z+xy+yz+xz}{1+x+y+z}\)
\(=3+\frac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz}{1+x+y+z}\le3+x^2+y^2+z^2\)
Cần chứng minh : \(\frac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz}{1+x+y+z}\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge xy+yz+xz\)
Mà \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge1.\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge xy+yz+xz\)
suy ra đpcm
a) bđt cosi
b) \(\left(\sqrt{a+b}\right)=a+b\)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+b+2\sqrt{ab}\)
\(a+b+2\sqrt{ab}>a+b\)
=> đpcm
c) xét hiệu \(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}+b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\ge0\)
d)https://olm.vn/hoi-dap/question/1003405.html
nè ngại làm
Áp dụng bđt Bunhiacopxki được \(\left(a+b\right)^2\le\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)=2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{a+b}{\sqrt{2}}\)
Chứng minh tương tự \(\hept{\begin{cases}\sqrt{b^2+c^2}\ge\frac{b+c}{\sqrt{2}}\\\sqrt{c^2+a^2}\ge\frac{c+a}{\sqrt{2}}\end{cases}}\)
Cộng 3 bđt lại được
\(VT\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
Dấu "=" <=> a= b = c = 1/3