Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu a)
Từ \(\tan a=3\Leftrightarrow \frac{\sin a}{\cos a}=3\Rightarrow \sin a=3\cos a\)
Do đó:
\(\frac{\sin a\cos a+\cos ^2a}{2\sin ^2a-\cos ^2a}=\frac{3\cos a\cos a+\cos ^2a}{2(3\cos a)^2-\cos ^2a}\)
\(=\frac{\cos ^2a(3+1)}{\cos ^2a(18-1)}=\frac{4}{17}\)
Câu b)
Có: \(\cot \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)
\(\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x\)
\(\Rightarrow \cot \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\frac{-\sin ^2x}{\cos x}\)
Và:
\(\frac{\sin (\pi-x)\cot x}{1-\sin ^2x}=\frac{\sin x\cot x}{\cos^2x}=\frac{\sin x.\frac{\cos x}{\sin x}}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos x}\)
Do đó:
\(\Rightarrow \cot \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\frac{\sin (\pi-x)\cot x}{1-\sin ^2x}=\frac{1-\sin ^2x}{\cos x}=\frac{\cos ^2x}{\cos x}=\cos x\)
Ta có đpcm.
\(A=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos\left(2a-2b\right)+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2b+2sin\left(a-b\right)sinb.cosa\)
\(=1-\frac{1}{2}\left[cos\left(2a-2b\right)+cos2b\right]+2sin\left(a-b\right)sinb.cosa\)
\(=1-cosa.cos\left(a-2b\right)+2sin\left(a-b\right).sinb.cosa\)
\(=1-cosa\left[cos\left(a-2b\right)-2sin\left(a-b\right)sinb\right]\)
\(=1-cosa\left[cos\left(a-2b\right)+cosa-cos\left(a-2b\right)\right]\)
\(=1-cosa^2=sin^2a\)
Hoàn toàn tương tự:
\(B=1+cos\left(2a+b\right).cosb-2cosa.cosb.cos\left(a+b\right)\)
\(=1+cosb\left[cos\left(2a+b\right)-2cosa.cos\left(a+b\right)\right]\)
\(=1+cosb\left[cos\left(2a+b\right)-cos\left(2a+b\right)-cosb\right]\)
\(=1-cos^2b=sin^2b\)
\(B=cos^273^0+cos^287^0+cos^23^0+cos^217^0\)
\(\Rightarrow B=cos^273^0+cos^287^0+cos^2\left(90^0-87^0\right)+cos^2\left(90^0-73^0\right)\)
\(\Rightarrow B=cos^273^0+cos^287^0+sin^287^0+sin^273^0\)
\(\Rightarrow B=\left(cos^273^0+sin^273^0\right)+\left(cos^287^0+sin^287^0\right)\)
\(\Rightarrow B=1+1=2\)
@Akai Haruma @Nguyễn Việt Lâm @Nguyễn Việt Lâm @Lightning Farron giúp em
Giả sử các biểu thức đều xác định:
a/ \(sin^2x.tanx+cos^2x.cotx+2sinx.cosx\)
\(=sin^2x.\frac{sinx}{cosx}+sinx.cosx+cos^2x.\frac{cosx}{sinx}+sinx.cosx\)
\(=sinx\left(\frac{sin^2x}{cosx}+cosx\right)+cosx\left(\frac{cos^2x}{sinx}+sinx\right)\)
\(=sinx\left(\frac{sin^2x+cos^2x}{cosx}\right)+cosx\left(\frac{cos^2x+sin^2x}{sinx}\right)=\frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{sinx}=tanx+cotx\)
b/
\(\frac{1+sin^2x}{1-sin^2x}=\frac{1+sin^2x}{cos^2x}=\frac{1}{cos^2x}+tan^2x=1+tan^2x+tan^2x=1+2tan^2x\)
c/ \(\frac{cosx}{1+sinx}+tanx=\frac{cosx\left(1-sinx\right)}{1-sin^2x}+\frac{sinx.cosx}{cos^2x}=\frac{cosx-cosx.sinx}{cos^2x}+\frac{sinx.cosx}{cos^2x}\)
\(=\frac{cosx}{cos^2x}=\frac{1}{cosx}\)
d/ \(\frac{sinx}{1+cosx}+\frac{1+cosx}{sinx}=\frac{sinx\left(1-cosx\right)}{\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)}+\frac{sinx\left(1+cosx\right)}{sin^2x}\)
\(=\frac{sinx-sinx.cosx}{1-cos^2x}+\frac{sinx+sinx.cosx}{sin^2x}=\frac{sinx-sinx.cosx}{sin^2x}+\frac{sinx+sinx.cosx}{sin^2x}\)
\(=\frac{2sinx}{sin^2x}=\frac{2}{sinx}\)
Mẫn Li
Câu 4 nếu bạn ko đánh sai thì người ghi đề sai :D, tử số phải là sinb chứ ko phải sina (đã chứng minh bên trên)
Câu 2b sửa lại thì cm dễ thôi:
\(\frac{cos\left(a+b\right).cos\left(a-b\right)}{sin^2a.sin^2b}=\frac{\frac{1}{2}cos2a+\frac{1}{2}cos2b}{sin^2a.sin^2b}=\frac{1-sin^2a-sin^2b}{sin^2a.sin^2b}=\frac{1}{sin^2a.sin^2b}-\frac{1}{sin^2a}-\frac{1}{sin^2b}\)
\(=\left(1+cot^2a\right)\left(1+cot^2b\right)-\left(1+cot^2a\right)-\left(1+cot^2b\right)\)
\(=1+cot^2a+cot^2b+cot^2a.cot^2b-2-cot^2a-cot^2b\)
\(=cot^2a.cot^2b-1\)
(từ đầu bằng thứ nhất ra thứ 2 sử dụng ct nhân đôi \(cos2x=1-2sin^2x\))
Rất xin lỗi bạn!
Câu 2b do mình đánh sai dấu phải là \(\frac{cos\left(a+b\right)\times cos\left(a-b\right)}{sin^2a\times sin^2b}=cot^2a\times cot^2b-1\)
Câu 3 mình cũng đánh sai luôn:
\(sin\frac{A}{2}=cos\frac{B}{2}\times cos\frac{C}{2}-sin\frac{C}{2}\times sin\frac{B}{2}\)
Còn câu 4 thì mình ko có đánh sai! Thành thật xin lỗi bạn! Mình sẽ khắc phục sự cố này!
Bài 1:
a)
\(\sin ^2x+\sin ^2x\cot^2x=\sin ^2x(1+\cot^2x)=\sin ^2x(1+\frac{\cos ^2x}{\sin ^2x})\)
\(=\sin ^2x.\frac{\sin ^2x+\cos^2x}{\sin ^2x}=\sin ^2x+\cos^2x=1\)
b)
\((1-\tan ^2x)\cot^2x+1-\cot^2x\)
\(=\cot^2x(1-\tan^2x-1)+1=\cot^2x(-\tan ^2x)+1=-(\tan x\cot x)^2+1\)
\(=-1^2+1=0\)
c)
\(\sin ^2x\tan x+\cos^2x\cot x+2\sin x\cos x=\sin ^2x.\frac{\sin x}{\cos x}+\cos ^2x.\frac{\cos x}{\sin x}+2\sin x\cos x\)
\(=\frac{\sin ^3x}{\cos x}+\frac{\cos ^3x}{\sin x}+2\sin x\cos x=\frac{\sin ^4x+\cos ^4x+2\sin ^2x\cos ^2x}{\sin x\cos x}=\frac{(\sin ^2x+\cos ^2x)^2}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}\)
\(=\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}=\frac{2}{\sin 2x}\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có:
\(P=\frac{a^2}{\sqrt{a(2c+a+b)}}+\frac{b^2}{\sqrt{b(2a+b+c)}}+\frac{c^2}{\sqrt{c(2b+c+a)}}\)
\(\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{a(2c+a+b)}+\sqrt{b(2a+b+c)}+\sqrt{c(2b+c+a)}}(*)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\((\sqrt{a(2c+a+b)}+\sqrt{b(2a+b+c)}+\sqrt{c(2b+c+a)})^2\leq (a+b+c)(2c+a+b+2a+b+c+2b+c+a)\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{a(2c+a+b)}+\sqrt{b(2a+b+c)}+\sqrt{c(2b+c+a)})^2\leq 4(a+b+c)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{a(2c+a+b)}+\sqrt{b(2a+b+c)}+\sqrt{c(2b+c+a)}\leq 2(a+b+c)(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow P\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Chọn B.
Ta có: góc A tù nên cos A < 0 ; sinA > 0 ; tan A < 0 ; cot A < 0
Do góc A tù nên góc B và C là các góc nhọn có các giá trị lượng giác đều dương
Do đó: M > 0 ; N > 0 ; P > 0 và Q < 0.
Chọn C