Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))
Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị
Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)
Khi đó \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)
Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)
Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)
Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)
Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)
Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))
Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1
2) \(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15a}{16}+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(S\ge\frac{15a}{16}+2.\sqrt{\frac{a}{16}.\frac{1}{a}}=\frac{15.4}{16}+2.\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{15}{4}+2.\frac{1}{4}=\frac{15}{4}+\frac{1}{2}=\frac{15}{4}+\frac{2}{4}=\frac{17}{4}\)
\(S=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
kudo shinichi sao cách làm giống của thầy Hồng Trí Quang vậy bạn?
\(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15}{16}a+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\ge\frac{15}{16}a+2\sqrt{\frac{1.a}{16.a}}=\frac{15}{16}a+2.\frac{1}{4}\)
\(=\frac{15}{16}.4+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 4
Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
1/ \(4\left(a^2-ab+b^2\right)⋮3\)
\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2+3b^2⋮3\)
\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2⋮3\)
\(\Rightarrow2a-b⋮3\)
\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2⋮9\)
\(\Rightarrow3b^2⋮9\)
\(\Rightarrow b⋮3\)
\(\Rightarrow a⋮3\)
đặt \(t=a+b\) từ GT => \(3=t^2-ab\ge\frac{3}{4}t^2\)\(\Leftrightarrow\)\(-2\le t\le2\)
\(P=-4t^3-3t^2+18t+9=\hept{\begin{cases}\frac{-1}{4}\left(2t+3\right)^2\left(4t-9\right)-\frac{45}{4}\ge\frac{-45}{4}\left(dungvoit\le2\right)\\-\left(t-1\right)^2\left(4t+11\right)+20\le20\left(dungvoit\ge-2\right)\end{cases}}\)
\(P_{min}=\frac{-45}{4}\) tại
\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+ab=3\\a+b=\frac{-3}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\left(a;b\right)=\left\{\left(\frac{-3-\sqrt{21}}{4};\frac{-3+\sqrt{21}}{4}\right);\left(\frac{-3+\sqrt{21}}{4};\frac{-3-\sqrt{21}}{4}\right)\right\}\)
\(P_{max}=20\) tại \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+ab=3\\a+b=1\end{cases}}\Leftrightarrow\left(a;b\right)=\left\{\left(2;-1\right);\left(-1;2\right)\right\}\)
Biểu thức \(M\)đó không có max bạn nhé.
Ta sẽ tìm min của \(M\).
\(M=a+b+\frac{1}{2a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2}b+\frac{2}{b}+\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{1}{2}a.\frac{1}{2a}}+2\sqrt{\frac{1}{2}b.\frac{2}{b}}+\frac{1}{2}.3\)
\(=1+2+\frac{3}{2}=4,5\)
Dấu \(=\)khi \(a=1,b=2\).
,
Ngắn gọn thì đây là 1 bài toán không giải được (min max tồn tại, nhưng không thể tìm được)
Cực trị xảy ra tại \(x=\dfrac{a}{b}\) là nghiệm của pt bậc 4:
\(7x^4+11x^3-3x^2-4x-2=0\)
Là một pt không thể phân tích về các pt bậc thấp hơn