Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) AB và AC là tiếp tuyến của (O;R) =>AB⊥OB và AC⊥OC =>B và C nhìn OA góc 90° =>B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO hay A,B,C,) cùng nằm trên đường tròn đường kính AO.
Hai △AOB và △AOC là 2 tam giác vuông có chung cạnh huyền OA và 2 cạnh góc vuông OB=OC (cùng = R) => △AOB = △AOC =>OA là phân giác ∠BOC mà △BOC cân tại B =>OA là đường trung trực của BC.
b)xét △ODB và △OBA có 2 góc vuông tại D và B, chung góc nhọn tại O =>△ODB ∼ △OBA =>OD/OB=OB/OA =>OA.OD=OB²=R².
A B O C H D E F
a) Do C thuộc đường tròn nên \(\widehat{ACB}=90^o\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go: \(BC=\sqrt{10^2-6^2}=8\left(cm\right)\)
Xét tam giác vuông ACB, đường cao CH. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác, ta có:
\(CH.AB=CA.BC\Rightarrow CH=\frac{6.8}{10}=4,8\left(cm\right)\)
Ta thấy \(sin\widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}\Rightarrow\widehat{ABC}\approx36^o52'\)
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(DC=DB\) và DO là phân giác góc BDC.
Vậy thì DO cũng là đường trung trực của BC hay \(DO\perp BC.\)
c) Xét tam giác vuông ABC, đường cao CH, ta có : \(AH.AB=AC^2\) (Hệ thức lượng)
Xét tam giác vuông AEB, đường cao AC, ta có: \(AC^2=EC.CB\) (Hệ thức lượng)
Vậy nên \(AH.AB=EC.CB\)
d) Ta thấy HC // AE (Cùng vuông góc với AB)
Áp dụng Ta let ta có: \(\frac{IH}{AF}=\frac{IC}{EF}\left(=\frac{IB}{FB}\right)\)
mà IH = IC nên AF = FE.
Xét tam giác vuông ACE có F là trung điểm cạnh huyền nên FA = FE = FC.
Xét tam giác FAO và FCO có: FO chung, FA = FC, AO = CO nên \(\Delta FAO=\Delta FCO\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{FCO}=\widehat{FAO}=90^o\)
Vậy nen FO là tiếp tuyến của đường tròn.
a) Vì AH, HB, AB đều là các đường kính của các nửa đường tròn (O1) , (O2) và (O) nên tứ giác MPHQ có ba góc P, Q, M vuông. Vì vậy nó là hình chữ nhật.
Từ đó, ta có HM = PQ.
b) Vì MHPQ là hình chữ nhật nên \widehat{MPQ}=\widehat{MHQ}=\widehat{MBH}\left(=\dfrac{\stackrel\frown{HQ}}{2}\right)MPQ=MHQ=MBH(=2HQ⌢), do đó APQB là tứ giác nội tiếp.
c) Ta có \widehat{O_1PA}=\widehat{PAO_1}=90^o-\widehat{HMP}=90^o-\widehat{MPQ}O1PA=PAO1=90o−HMP=90o−MPQ
\Rightarrow\widehat{O_1PA}+\widehat{MPQ}=90^o\Rightarrow\widehat{O_1PQ}=90^o⇒O1PA+MPQ=90o⇒O1PQ=90o nên PQ tiếp xúc nửa đường tròn (O1) tại P.
Tương tự , PQ tiếp xúc (O2) tại Q hay PQ là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (O1) và (O2)
Cô hướng dẫn nhé.
a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(OA\perp BC\)
Xét tam giác vuông OBA có đường cao BH, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(OH.OA=OB^2=R^2\)
b) Ta thấy rằng \(\widehat{BCD}\) chắn nửa đường tròn nên \(\widehat{BCD}=90^o\)
\(\Rightarrow DC\perp BC\)
Theo tính chất từ vuông góc tới song song ta có OA // CD
Ta cũng thấy ngay \(\Delta OCA\sim\Delta DKC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AO}{CD}=\frac{AC}{CK}\Rightarrow AC.CD=CK.AO\)
O A C B D H I M
a) Tam giác COD và HOD là các tam giác vuông có chung cạnh huyền OD nên O, H, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính OD.
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(OD\perp BC\)
Tam giác DIA và DHA là hai tam giác vuông có chung cạnh AD nên DIHA là tứ giác nội tiếp.
Vậy thì \(\widehat{IDA}=\widehat{IHO}\)
Từ đó ta có \(\Delta IOH\sim\Delta AOD\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{OI}{OA}=\frac{OH}{OD}\Rightarrow OH.OA=OI.OD\)
c) Xét tam giác vuông DBO, chiều cao BI, ta có:
\(OI.OD=OB^2\) (Hệ thức lượng)
Mà \(OB^2=OM^2;OI.OD=OH.OA\Rightarrow OM^2=OH.OA\)
\(\Rightarrow\Delta OHM\sim\Delta OMA\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{OMA}=\widehat{OHM}=90^o\)
Vậy AM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
a) Xét 2 tam giác ABE và ACF, ta có:
\(\widehat{AEB}=\widehat{ACF}=90^o\) và \(\widehat{A}\) chung
nên \(\Delta ABE~\Delta ACF\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\) \(\Rightarrow AB.AF=AC.AE\) (đpcm)
b) Từ \(AB.AF=AC.AE\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\). Từ đó dễ dàng chứng minh \(\Delta AEF~\Delta ABC\left(c.g.c\right)\)
c) Kẻ đường kính AP của (O). Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}AB\perp BP\\AB\perp HC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) BP//HC
CMTT, ta có CP//HB, dẫn đến tứ giác BHCP là hình bình hành. Lại có A' là trung điểm BC \(\Rightarrow\) A' cũng là trung điểm HP.
Do đó OA' là đường trung bình của tam giác PAH \(\Rightarrow AH=2A'O\left(đpcm\right)\)