Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng : 1/(2 + a 2 b) + 1/(2 + b 2 c) + 1/(2 + c 2 a) ≥ 1. Chỉ làm theo cách của lớp 9 thô...

https://i.imgur.com/rwctBlf.jpgCâu trả lời: https://i.imgur.com/rwctBlf.jpg

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng : 1/(2 + a2b) + 1/(2 + b...

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Mua vip

Vũ Huy Hoàng

22 tháng 10 2019

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng :

1/(2 + a²b) + 1/(2 + b²c) + 1/(2 + c²a) ≥ 1.

Chỉ làm theo cách của lớp 9 thôi ạ!!!

Mọi người giúp e với :>

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

Phạm Lan Hương

22 tháng 10 2019

https://i.imgur.com/rwctBlf.jpg

Đúng(0)

Phạm Lan Hương

22 tháng 10 2019

Đúng(0)

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

9 HOÀNG NGỌC CƯỜNG

1 tháng 6 2020 - olm

giúp tớ với!!!
Với các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1.
1) Chứng minh rằng a²/b+b²/c+c²/a >= 1
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=2018(a²/b+b²/c+c²/a)+1/3(a²+b²+c²)
yuppp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

Nguyễn Linh Chi

1 tháng 6 2020

1) \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=\frac{1^2}{1}=1\)

2) \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

=> \(P\ge2018.1+\frac{1}{3}.\frac{1}{3}=2018\frac{1}{9}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1/3

Vậy GTNN của P = \(2018\frac{1}{9}\) tại a = b = c = 1/3

Đúng(0)

Hoàng Liên

22 tháng 10 2017 - olm

Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3. chứng minh

a+1/1+b² + b+1/1+c² + c+1/1+a² >hoặc= 3

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

Thắng Nguyễn

22 tháng 10 2017

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a+1}{1+b^2}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{1+b^2}\ge a+1-\frac{b\left(a+1\right)}{2}=a+1-\frac{ab}{2}-\frac{b}{2}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:

\(\frac{b+1}{1+c^2}\ge b+1-\frac{bc}{2}-\frac{c}{2};\frac{c+1}{1+a^2}\ge a+1-\frac{ac}{2}-\frac{a}{2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca}{2}-\frac{a+b+c}{2}\)

\(\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}-\frac{3}{2}=3=VP\)

Khi \(a=b=c=1\)

Đúng(0)

lyzimi

22 tháng 2 2016 - olm

cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn abc=1. chứng minh rằng

1/a³(b+c) +1/b³(c+a) +1/c³(a+b) >_ 3/2

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

Thức Nguyễn Văn

12 tháng 2 2016 - olm

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a²+b²+c²=1. Chứng minh rằng: \(\frac{a^2}{1+b-a}+\frac{b^2}{1+c-b}+\frac{c^2}{1+a-c}\ge1\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

Hoàng Yến

21 tháng 5 2015 - olm

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a² + b²+ c² = 3.

CMR: 1/a + 1/b + 1/c + 3/2 * (a+b+c) >= 15/2

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

Kiệt Nguyễn

29 tháng 4 2020

\(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)\(=\left(\frac{1}{a}+\frac{3a}{2}\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{3b}{2}\right)+\left(\frac{1}{c}+\frac{3c}{2}\right)\)

*Nháp*

Dự đoán điểm rơi tại a = b = c = 1 khi đó \(VT=\frac{15}{2}\)

Ta dự đoán BĐT phụ có dạng \(\frac{1}{x}+\frac{3x}{2}\ge mx^2+n\)(Ta thấy các hạng tử trong điều kiện đã cho ban đầu đều có bậc là 2 nên VP của BĐT phụ cũng có bậc là 2) (*)

Do đó ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{3a}{2}\ge ma^2+n\);\(\frac{1}{b}+\frac{3b}{2}\ge mb^2+n\);\(\frac{1}{c}+\frac{3c}{2}\ge mc^2+n\)

Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: \(VT\ge m\left(a^2+b^2+c^2\right)+3n=3\left(m+n\right)=\frac{15}{2}\)

\(\Rightarrow m+n=\frac{5}{2}\Rightarrow n=\frac{5}{2}-m\)

Thay\(n=\frac{5}{2}-m\)vào (*), ta được: \(\frac{1}{x}+\frac{3x}{2}\ge mx^2+\frac{5}{2}-m\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{3x}{2}-\frac{5}{2}\ge m\left(x^2-1\right)\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(3x-2\right)}{2x\left(x+1\right)}\ge m\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow m\le\frac{3x-2}{2x\left(x+1\right)}\)(**)

Đồng nhất x = 1 vào (**), ta được: \(m=\frac{1}{4}\Rightarrow n=\frac{9}{4}\)

Như vậy, ta được BĐT phụ: \(\frac{1}{x}+\frac{3x}{2}\ge\frac{x^2+9}{4}\)

GIẢI:

Ta có a,b,c là các số thực dương và \(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow0< a^2;b^2;c^2\le3\Rightarrow0< a,b,c\le\sqrt{3}\)

Ta chứng minh BĐT phụ: \(\frac{1}{x}+\frac{3x}{2}\ge\frac{x^2+9}{4}\)(với \(0< x\le\sqrt{3}\))

\(\Leftrightarrow\frac{\left(4-x\right)\left(x-1\right)^2}{4x}\ge0\)(Đúng với mọi \(0< x\le\sqrt{3}\))

Áp dụng ta được: \(\frac{1}{a}+\frac{3a}{2}\ge\frac{a^2+9}{4}\);\(\frac{1}{b}+\frac{3b}{2}\ge\frac{b^2+9}{4}\);\(\frac{1}{c}+\frac{3c}{2}\ge\frac{c^2+9}{4}\)

Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: \(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)+9.3}{4}=\frac{15}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Đúng(0)

Lê Xuân Đức

2 tháng 1 2017 - olm

Câu hỏi hay

Bài1: Giải phương trình sau:(x2+5)(x2+10x)=6(2x-1)2Bài 2:a, Cho 1<=a,b,c<=3 thỏa mãn a2+b2+c2=19. Tìm giá trị nhỏ nhất của E=a+b+c.b, Cho x,y,z>0 thỏa mãn điều kiện (x+y)(y+z)(z+x)=8. Chứng minh rằng (x+2y+z)(y+2z+x)(z+2y+x)>=64.Bài 4: Cho các số tự nhiên a,b thỏa mãn điều kiện 2a2+a=6b2+b. Chứng minh rằng a-b, 2a+2b,2a+2a+1 đều là các số chính...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

Hoàng Lê Bảo Ngọc

3 tháng 1 2017

Bài 2. a/ \(1\le a,b,c\le3\) \(\Rightarrow\left(a-1\right).\left(a-3\right)\le0\) , \(\left(b-1\right)\left(b-3\right)\le0\), \(\left(c-1\right).\left(c-3\right)\le0\)

Cộng theo vế : \(a^2+b^2+c^2\le4a+4b+4c-9\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{a^2+b^2+c^2+9}{4}=7\)

Vậy min E = 7 tại chẳng hạn, x = y = 3, z = 1

b/ Ta có : \(x+2y+z=\left(x+y\right)+\left(y+z\right)\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)

Tương tự : \(y+2z+x\ge2\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\) , \(z+2y+x\ge2\sqrt{\left(z+y\right)\left(y+x\right)}\)

Nhân theo vế : \(\left(x+2y+z\right)\left(y+2z+x\right)\left(z+2y+x\right)\ge8\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\) hay

\(\left(x+2y+z\right)\left(y+2z+x\right)\left(z+2y+x\right)\ge64\)

Đúng(0)

trần bảo trân

2 tháng 1 2017

chẵng biết

Đúng(0)

ngoan trần thị

26 tháng 3 2018 - olm

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a² + b² + c² = 1. Chứng minh rằng \(\frac{a+b}{1-ab}+\frac{b+c}{1-bc}+\frac{c+a}{1-ca}< =3\left(a+b+c\right)\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

Vũ Huy Hoàng

26 tháng 11 2019

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

1/(a² + b² + c²+ a) + 1/(a² + b² + c² + b) + 1/(a² + b² + c² +c) ≤ 9/2

Giúp em với, hôm sau em phải nộp rùi !!! :v

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

Full Moon

15 tháng 9 2018 - olm

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng :

(a²+3)(b²+ 3)( c²+ 3) >= 4( a+ b+ c+1)²

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

Đen đủi mất cái nik

15 tháng 9 2018

ÁP DỤNG BĐT BUNHIA TA CÓ:
\(\left(a^2+1+1+1\right)\left(1+\left(\frac{b+c}{2}\right)^2+\left(\frac{b+c}{2}\right)^2+1\right)\ge\left(1.a+\frac{b+c}{2}.1+\frac{b+c}{2}.1+1.1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4\left(a^2+3\right)\left(2+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)

MẶT KHÁC ÁP DỤNG BĐT AM-GM TA CÓ:

\(\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)=3b^2+3c^2+b^2c^2+1+8=2b^2+2c^2+\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2c^2+1\right)+8\)

\(\ge2b^2+2c^2+2bc+2bc+8=2\left(b+c\right)^2+8=4\left(\frac{\left(b+c\right)^2}{2}+2\right)\)

NHƯ VẬY:

\(\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(\frac{\left(b+c\right)^2}{2}+2\right)\left(a^2+3\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)

ĐẲNG THỨC XẢY RA KHI VÀ CHỈ KHI a=b=c=1

Đúng(0)

tth_new

8 tháng 6 2019

Ta dự đoán được đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại trong ba số\(a^2-1;b^2-1;c^2-1\) tồn tại ít nhất hai số có tích không âm. Không mất tính tổng quát,giả sử rằng \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8=4\left(a^2+b^2+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\)

\(\Leftrightarrow VT\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+1+c^2\right)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki suy ra \(VT\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\Rightarrow Q.E.D\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Đúng không ạ???

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP