Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
\(6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá
2.
\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1\)
\(VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
3.
\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}\)
Tương tự: \(\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}\) ; \(\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}\) ; \(\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}\)
Cộng vế với vế và rút gọn ta được: \(3VT\ge3VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=1\)
4.
ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)
\(y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8\)
\(\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\)
Mặt khác do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2\)
\(y_{min}=-2\) khi \(x=-2\)
1/ a/dung bđt Cauchy - Schwarz dạng phân thức: \(\frac{a^2}{b+3c}+\frac{b^2}{c+3a}+\frac{c^2}{a+3b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{4}\)
2/ a/dung bđt bunhiacopxki :
\(S^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)=3\cdot2\left(a+b+c\right)=6\cdot6=36\)
=> \(S\le6\)
a/ BĐT sai, với \(c=0\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a}{b}\) (vô lý)
b/ \(\Leftrightarrow\frac{a^2}{4}+b^2+c^2-ab+ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b+c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
c/ Bạn coi lại đề, trong ngoặc bên phải là \(a^2b\) hay \(ab^2\)?
d/ \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b+b-2\sqrt{bc}+c+c-2\sqrt{ca}+a\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)
e/ Thiếu điều kiện, BĐT này chỉ đúng khi \(a+b\ge0\) (hoặc a;b không âm)
Cách 1:
\(VP=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge\sqrt{\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}{2}}=\frac{|a+b|}{2}\ge\frac{a+b}{2}=VT\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b\)
Cách 2:
Ta co:
\(\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)^2\le4\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (TRUE)
Dau '=' xay ra khi \(a=b\)
Bổ đề 1: Với m, n < 1 ta có bất đẳng thức:
\(\frac{1}{1+m^2}+\frac{1}{1+n^2}\le\frac{2}{1+mn}\).
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với: \(\left(mn-1\right)\left(m-n\right)^2\le0\) (luôn đúng).
Bổ đề 2: Với m, n, p < 1 ta có bất đẳng thức:
\(\frac{1}{1+m^3}+\frac{1}{1+n^3}+\frac{1}{1+p^3}\le\frac{3}{1+mnp}\left(2\right)\).
Thật vậy, áp dụng bổ đề (1) ta có:
\(VT_{\left(2\right)}=\left(\frac{1}{1+m^3}+\frac{1}{1+n^3}\right)+\left(\frac{1}{1+p^3}+\frac{1}{1+mnp}\right)-\frac{1}{1+mnp}\le\frac{2}{1+\sqrt{m^3n^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{mnp^4}}-\frac{1}{1+mnp}\le\frac{4}{1+\sqrt[4]{m^3n^3.mnp^4}}-\frac{1}{1+mnp}=\frac{4}{1+mnp}-\frac{1}{1+mnp}=\frac{3}{1+mnp}\left(đpcm\right)\).
Quay trở lại bài toán.
Đặt \(\left(\sqrt[3]{a},\sqrt[3]{b},\sqrt[3]{c}\right)=\left(x,y,z\right)\). Ta có: \(0< x,y,z< 1\).
BĐT cần chứng minh trở thành:
\(\frac{1}{1+x^3+y^3}+\frac{1}{1+y^3+z^3}+\frac{1}{1+z^3+x^3}\le\frac{3}{1+2xyz}\left(1\right)\).
Áp dụng BĐT AM - GM và bổ đề 2 ta có: \(VT_{\left(1\right)}\le\frac{1}{1+\left(\sqrt[3]{2}\sqrt{xy}\right)^3}+\frac{1}{1+\left(\sqrt[3]{2}\sqrt{yz}\right)^3}+\frac{1}{1+\left(\sqrt[3]{2}\sqrt{zx}\right)^3}\le\frac{3}{1+\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2}\sqrt{xy.yz.zx}}=\frac{3}{1+2xyz}=VP_{\left(1\right)}\left(đpcm\right)\)
Bạn bổ sung cho mình thêm điều kiện ở hai bổ đề:
Bổ đề 1: Thêm m, n > 0.
Bổ đề 2: Thêm m, n, p > 0.
1)
\(2a+\frac{4}{a}+\frac{16}{a+2}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+\left[\left(a+2\right)+\frac{16}{a+2}\right]-2\ge4+8-2=10\)
Dấu "=" xảy ra khi a=2
2)
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a\left(1-4a\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{4a\left(1-4a\right)}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{4a+1-4a}{2}=\frac{1}{4}\\\sqrt{b\left(1-4b\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{4\left(1-4a\right)}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{4b+1-4b}{2}=\frac{1}{4}\\\sqrt{c\left(1-4c\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{4c\left(1-4c\right)}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{4c+1-4c}{2}=\frac{1}{4}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a\left(1-4a\right)}+\sqrt{b\left(1-4b\right)}+\sqrt{c\left(1-4c\right)}\le\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{8}\)
\(\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\le\frac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}\)
\(\Leftrightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)