Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
theo bài ra ta có: \(c^2+2ab-2bc-2ca=0.\)
\(\Rightarrow2\left(c^2+ab-bc-ca\right)=c^2\)
\(\Rightarrow2\left(a-c\right)\left(b-c\right)=c^2\)
Mặt khác: \(\frac{a^2+\left(a-c\right)^2}{b^2+\left(b-c\right)^2}=\frac{2a^2-2ac+c^2}{2b^2-2bc+c^2}=\frac{2a\left(a-c\right)+2\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2b\left(b-c\right)+2\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\frac{\left(a-c\right)\left(a+b-c\right)}{\left(b-c\right)\left(b+a-c\right)}=\frac{a-c}{b-c}\) => đpcm
Áp dụng BĐT Cauchy-SChwarz ta có:
\(VT=\frac{a^4}{a^2+2a^2bc}+\frac{b^4}{b^2+2ab^2c}+\frac{c^4}{c^2+2abc^2}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\cdot\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3}}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\cdot\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}}\)
\(\ge\frac{1^2}{1+2\cdot\frac{1^2}{3}}=\frac{3}{5}=VP\)
Dấu "=" bạn tự nghiên cứu nhé :D
DẤU BẰNG XẢY RA\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\) CÁI NÀY LÀ ĐIỂM RƠI NHÉ.
Ta có: \(\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}\)\(\Leftrightarrow a\left(c^2+b^2\right)=c\left(a^2+b^2\right)\)\(\Leftrightarrow ac^2+ab^2=a^2c+b^2c\Leftrightarrow ac\left(c-a\right)-b^2\left(c-a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-a\right)\left(ac-b^2\right)=0\)
Vì \(a\ne c\)nên \(c-a\ne0\)
Do đó \(ac-b^2=0\Leftrightarrow ac=b^2\Rightarrow\sqrt{ac}=b\)
Giả sử \(a^2+b^2+c^2\)là số nguyên tố
Ta có \(a^2+b^2+c^2=a^2+ac+c^2=\left(a+c\right)^2-ac=\left(a+c\right)^2-b^2\)\(=\left(a-b+c\right)\left(a+b+c\right)\)
\(=\left[\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{ac}+\left(\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}\right]\left[\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{ac}+\left(\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\right]\)
\(\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}\right]\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\right]\)
Vì \(a^2+b^2+c^2\)là số nguyên tố nên có một ước số là 1
Mà \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}< \left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\)
nên \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}=1\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2=1-\sqrt{ac}\)
Vì \(a\ne c\Rightarrow\sqrt{a}\ne\sqrt{c}\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{c}\ne0\)\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>0\)
Do đó \(1-\sqrt{ac}>0\Rightarrow\sqrt{ac}< 1\Rightarrow ac< 1\)(1)
Mà \(a^2+b^2>0\)và \(c^2+b^2>0\)nên \(\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}>0\Rightarrow\frac{a}{c}>0\Rightarrow\)a, c cùng dấu \(\Rightarrow ac>0\)(2)
Từ (1), (2) suy ra \(0< ac< 1\)
Mà a,c là số nguyên nên ac là số nguyên
Do đó không có giá trị a,c thỏa mãn
suy ra điều giả sử sai
Vậy \(a^2+b^2+c^2\) không thể là số nguyên tố
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
b^2+c^2-a^2=(b+c)^2-2bc-a^2=(-a)^2-2bc+a^2=-2bc. Tuong tu roi quy dong len ban nhe^^
Từ giả thiết ta có : \(a+b=-c\Rightarrow a^2+b^2=c^2-2ab\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự ta cũng có \(\hept{\begin{cases}a^2+c^2=b^2-2ac\left(2\right)\\b^2+c^2=a^2-2bc\left(3\right)\end{cases}}\)
Ta thay (1), (2), (3) vào phương trình đã cho ta được:
\(\frac{1}{a^2-2bc-a^2}+\frac{1}{b^2-2ac-b^2}+\frac{1}{c^2-2ab-c^2}\)
\(=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ac}+\frac{1}{-2ab}=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}\right)\)
\(=\frac{1}{-2}\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)=-\frac{1}{2}\left(\frac{0}{abc}\right)=0\RightarrowĐPCM\)