Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
Nhân 2 vế của BĐT với \(\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(3(a^2+b^2+c^2)(a+b)(b+c)(c+a)\ge(a+b+c)\left(Σ_{cyc}(a^2+b^2)(c+a)(c+b)\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ_{perms}a^2b\left(a-b\right)^2\ge0\) *đúng*
1) Áp dụng BĐT Cô si
ta có
\(\left(\sqrt{a+b}-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a,b\inĐK\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{a+b}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{a+b}\)
vậy ĐPCM
Bài 2
Áp dụng bđt Cauchy ta có \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\le\dfrac{\sqrt{ab}}{2}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có:
\(\Rightarrow VP\le4\left(\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}\right)=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy ta có \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge2.2\sqrt{ab}.\dfrac{1}{2}=2\sqrt{ab}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có:
\(\Rightarrow VT\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow VT\ge VP\)
\(\Rightarrowđpcm\)
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+1\)
\(=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+3\)
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
\(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}=2\)
\(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{b}}=2\)
Suy ra:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+3\ge2+2+2+3=9\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) ≥ \(\dfrac{9}{a+b+c}\)
⇔ \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\text{≥}\left(a+b+c\right).\dfrac{9}{a+b+c}\)
⇔ \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\text{≥}9\)
\("="\text{⇔}a=b=c\)
1) áp dụng cauchy cho (a+b) và 1/4
\(\frac{\left(a+b\right)+\frac{1}{4}}{2}\ge\sqrt{\left(a+b\right)\cdot\frac{1}{4}}\)
\(\Rightarrow a+b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a+b}\) (Đẳng thức khi \(a+b=\frac{1}{4}\))
2) Ta có: \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=x^2+x+\frac{1}{4}>x\)
\(\Rightarrow\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2>a+b=\frac{1}{\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{b}};\)
với x,y>0 ta có: \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{b}}\ge\frac{4}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)\(\Rightarrow\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2>\frac{4}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}};\)
Tương tự với \(\left(b+c+\frac{1}{2}\right)^2\) và \(\left(c+a+\frac{1}{2}\right)^2\)Ta có:
\(\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+c+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+a+\frac{1}{2}\right)^2\)
\(>4\left(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}\right)\)
Không xảy ra đẳng thức (Nếu vế trái là \(\left(a+b+\frac{1}{4}\right)^2+\left(b+c+\frac{1}{4}\right)^2+\left(c+a+\frac{1}{4}\right)^2\) Thì mới xảy ra đẳng thức.
I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.
BT2: Nhân 2 lên, chuyển vế, biến đổi bla..... sẽ ra đpcm
do \(a,b,c\ge1\)\(=>\left\{{}\begin{matrix}b+c\ge2\\c+a\ge2\\a+b\ge2\end{matrix}\right.\)
\(=>\left\{{}\begin{matrix}a\left(b+c\right)\ge2a\\b\left(c+a\right)\ge2b\\c\left(a+b\right)\ge2c\end{matrix}\right.\)
\(=>\) biểu thức đề bài cho\(\ge2\left(a+b+c+\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\right)\)
\(2\left(1+1+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)=9\)
dấu= xảy ra<=>a=b=c=1
Ngược dấu rồi bạn ơi =)))