Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cái này dễ thôi, Áp dụng bđt cô si ta có
\(\sqrt[3]{a+3b}\le\frac{a+3b+1+1}{3}\)
tương tự và + vào ta có \(A\le\frac{4\left(a+b+c\right)+6}{3}=3\) (đpcm)
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/4
\(\left(1.a+\sqrt{3}.\sqrt{3}b\right)^2\le\left(1+3\right)\left(a^2+3b^2\right)\Rightarrow\sqrt{a^2+3b^2}\ge\frac{a+3b}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{a+3b}{2}+\frac{b+3c}{2}+\frac{c+3a}{2}=2\left(a+b+c\right)=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt[3]{a+3b}=\sqrt[3]{1.1.(a+3b)}\leq \frac{1+1+a+3b}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}\geq \frac{3}{a+3b+2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
$\Rightarrow P\geq 3\left(\frac{1}{a+3b+2}+\frac{1}{b+3c+2}+\frac{1}{c+3a+2}\right)$
Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz:
\(\frac{1}{a+3b+2}+\frac{1}{b+3c+2}+\frac{1}{c+3a+2}\geq \frac{9}{4(a+b+c)+6}=\frac{9}{4.\frac{3}{4}+6}=1\)
Do đó: $P\geq 3.1=3$
Vậy $P_{\min}=3$ khi $a=b=c=\frac{1}{4}$
ta có \(\sqrt[3]{3a+1}=\frac{\sqrt[3]{\left(3a+1\right)2.2}}{\sqrt[3]{4}}\le\frac{3a+1+2+2}{3\sqrt[3]{4}}=\frac{3a+5}{3\sqrt[3]{4}}\)
tương tự \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{3b+1}\le\frac{3b+5}{3\sqrt[3]{4}}\\\sqrt[3]{3c+1}\le\frac{3c+5}{3\sqrt[3]{4}}\end{cases}}\)
\(=>P\le\frac{3\left(a+b+c\right)+15}{3\sqrt[3]{4}}=\frac{6}{\sqrt[3]{4}}=3\sqrt[3]{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương, ta có:
\(\left(b+3c\right)+4\ge2\sqrt{4\left(b+3c\right)}=4\sqrt{b+3c}\\ \)
\(\Rightarrow\sqrt{b+3c}\le\frac{b+3c+4}{4}\)
\(\Rightarrow a\sqrt{b+3c}\le\frac{ab+3ac+4a}{4}\)
Tương tự ta có \(b\sqrt{c+3a}\le\frac{bc+3ab+4b}{4}\)
\(c\sqrt{a+3b}\le\frac{ac+3bc+4c}{4}\)
\(\Rightarrow a\sqrt{b+3c}+b\sqrt{c+3a}+c\sqrt{a+3b}\le\)\(\frac{4\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)}{4}\)\(=\frac{4\left(ab+bc+ac\right)+12}{4}\)
Ta có bổ đề:3(ab+bc=ca) \(\le\)(a+b+c)^2 => 3(ab+bc+ca) \(\le9\)=> \(\text{(ab+bc+ca)}\le3\)
=>\(a\sqrt{b+3c}+b\sqrt{c+3a}+c\sqrt{a+3b}\le\)\(\frac{4.3+12}{4}=6\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=>a=b=c=1
Thay \(a+b+c=3\) ta được:
\(VT=\frac{1}{a\left(a+b+c\right)+bc}+\frac{1}{b\left(a+b+c\right)+ca}+\frac{1}{c\left(a+b+c\right)+ab}\)
\(=\frac{1}{a^2+ab+ac+bc}+\frac{1}{b^2+ab+bc+ca}+\frac{1}{c^2+ca+bc+ab}\)
\(=\frac{1}{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}+\frac{1}{b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}+\frac{1}{c\left(a+c\right)+b\left(a+c\right)}\)
\(=\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{1}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\frac{b+c+a+c+a+b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt{\left[\left(a+b\right)\left(a+c\right)\right].\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\right].\left[\left(a+c\right)\left(b+c\right)\right]}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{\left(3a+bc\right)\left(3b+ca\right)\left(3c+ab\right)}}=VP\) (Do \(a+b+c=3\))
=> ĐPCM.
chúa muốn hỏi , đề sai hay đúng ở chỗ " 3c^3+2ca+3c^2 ý :))
Đề bị sai bạn ạ