D
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
RR
15 tháng 5 2018
Ta có :
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ,ta có
\(\Sigma\left(a^2+bc\right)\ge\Sigma\left(2a\sqrt{bc}\right)=2.\Sigma\left(a\sqrt{bc}\right)=2.\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
<=> \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
<=> \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
PA
17 tháng 7 2017
Biến đổi tương đương:
\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\) (1)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\)
\(\Leftrightarrow2a+2b-a-2\sqrt{ab}-b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) luôn đúng
=> (1) đúng
Dấu "=" xảy ra khi a = b
15 tháng 5 2018
\(\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}\left(a-b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\frac{1}{4}\left(b-c\right)^2+\frac{3}{4}\left(b+c\right)^2}+\sqrt{\frac{1}{4}\left(c-a\right)^2+\frac{3}{4}\left(c+a\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\frac{3}{4}\left(b+c\right)^2}+\sqrt{\frac{3}{4}\left(c+a\right)^2}\)
\(=\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)
RR
15 tháng 5 2018
Ta có bất đẳng thức phụ sau
\(a^2+ab+b^2\ge\frac{3}{4}.\left(a+b\right)^2\) (Chứng minh thì biến đổi tương đương là được)
Ta có :
\(\Sigma\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge\Sigma\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2}=\sqrt{3}.\Sigma\dfrac{a+b}{2}=\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
28 tháng 5 2017
Đề sai kìa bạn
Thử với giá trị nhỏ nhất :
\(\sqrt{5.0+4}+\sqrt{5.0+4}+\sqrt{5.0+4}=2+2+2+=6< 7\)
Chưa nhìn cũng biết câu 2 sai lun
13 tháng 7 2017
2, a, \(a+\dfrac{1}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+1}{a}\ge2\)
\(\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\left(a>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\)( là đt đúng vs mọi a)
vậy...................
PA
13 tháng 7 2017
Câu 1:
\(M=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-20-10\sqrt{3}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{\left(5-\sqrt{3}\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+25-5\sqrt{3}}}\)
\(=\sqrt{4+5}=3\)
\(M=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{5}+1}=\sqrt{6-\sqrt{5}}\)
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
Chiều của BĐT là \(\le\)mà lại xuất hiện căn bậc hai nên ta sẽ nghĩ đến chuyện áp dụng BĐT Cô-si theo đánh giá từ TBN -> TBC
Ta cần tách \(\sqrt{a+2}=\sqrt{\frac{1}{k}.k\left(a+2\right)}\)Sao cho khi áp dụng Cô-si đảm bảo dấu "=" xảy ra khi \(a=2\)
Đồng thời, dấu "=" cũng xảy ra khi \(k=a+2\)hay \(k=2+2=4\)
Như vậy ta sẽ tách như sau: \(\sqrt{a+2}=\sqrt{\frac{1}{4}.4\left(a+2\right)}\le\sqrt{\frac{1}{4}}.\frac{4+a+2}{2}=\frac{1}{2}.\frac{a+6}{2}=\frac{a+6}{4}\)
Tương tự, ta có \(\sqrt{b+2}\le\frac{b+6}{4}\)và \(\sqrt{c+2}\le\frac{c+6}{4}\)
Vậy ta có \(\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}+\sqrt{c+2}\le\frac{a+6+b+6+c+6}{4}=\frac{\left(a+b+c\right)+18}{4}=\frac{6+18}{4}=6\)(vỉ \(a+b+c=6\)) \(\Leftrightarrow\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}+\sqrt{c+2}\le6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}4=a+2\\4=b+2\\4=c+2\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=2\)
sorry, mình sẽ ghi lại đề:
\(a,b,c>0\)thỏa mãn \(a+b+c=6\)
CMR: \(\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}+\sqrt{c+2}\le6\)