Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(A=\sqrt{4a+3}+\sqrt{4b+3}+\sqrt{4c+3}\Rightarrow A^2=\left(\sqrt{4a+3}+\sqrt{4b+3}+\sqrt{4c+3}\right)^2\)
Áp dụng BĐT Bu - nhi - a - cốp - xki ta có :
\(A^2=\left(\sqrt{4a+3}+\sqrt{4b+3}+\sqrt{4c+3}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(4a+3+4b+3+4c+3\right)=3\left[4\left(a+b+c\right)+9\right]=3\left(12+9\right)=63\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{4a+3}+\sqrt{4b+3}+\sqrt{4c+3}\le\sqrt{63}=3\sqrt{7}\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng Cauchy-Schwarz:
\(VT^2\le\left(1+1+1\right)\left(4a+1+4b+1+4c+1\right)\)
\(=3\left(4\left(a+b+c\right)+3\right)\)
\(=3\left(4+3\right)=21< 25=VP^2\)
Suy ra VT<VP---> đúng
Ap dung BDT Bun-hia-cop-xki ta co:
\(\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left[4\left(a+b+c\right)+3\right]=21\)
\(\Rightarrow-\sqrt{21}\le\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{21}< 5\)
\(\Rightarrow\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}< 5\)
Ap dung BDT Bun-hia-cop-xki ta co:
\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left[4\left(a+b+c\right)+3\right]=21(4a+1+4b+1+4c+1)2≤(1+1+1)[4(a+b+c)+3]=21
\Rightarrow-\sqrt{21}\le\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{21}< 5⇒−21≤4a+1+4b+1+4c+1≤21<5
\Rightarrow\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}< 5⇒4a+1+4b+1+4c+1<5
Bài 1:
Đặt \(a^2=x;b^2=y;c^2=z\)
Ta có:\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}\right]\)
Tương tự với \(\sqrt{\frac{y}{y+z}}\)và \(\sqrt{\frac{z}{z+x}}\)
Cộng lại ta được:
\(\frac{\sqrt{2}}{3}\left[\frac{x\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]+\frac{3}{2\sqrt{2}}\le\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
Sau đó bình phương hai vế rồi
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)đẳng thức đúng
Vậy...
Bài 2:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\le\frac{1}{3}\)
Nhân cả hai vế bđt với 4(a+b+c)4(a+b+c) rồi thu gọn ta được bđt sau:
\(\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+c}+\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}+\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}\)\(\le\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\left[\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+}-a\right]+\left[\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}-b\right]+\left[\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}-c\right]\le\frac{a+b+c}{3}\)
\(\frac{ca}{4a+4b+c}+\frac{ab}{4b+4c+a}+\frac{bc}{4c+4a+b}\le\frac{a+b+c}{9}\)
Áp dụng bđt cauchy-Schwarz ta có \(\frac{ca}{4a+4b+c}=\frac{ca}{\left(2b+c\right)+2\left(2a+b\right)}\)\(\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b}\right)\)
Từ đó ta có:
\(\text{∑}\frac{ca}{4a+4b+c}\le\frac{1}{9}\text{∑}\left(\frac{ca}{2b+c}+\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ab}{2b+c}\right)=\frac{a+b+c}{9}\)
Đặt VT=A rồi áp dụng bđt cauchy-Schwarz cho VT ta có
\(T^2\le3\left(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\right)\)\(\le3\cdot\frac{1}{3}=1\Leftrightarrow T\le1\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
c bạn tự làm nhé mình mệt rồi :D
Bài 3:(dài quá,đăng từ câu):
a)Từ giả thiết suy ra \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge3\Rightarrow a+b+c\ge3\)
BĐT \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\)
Mà \(VT\ge3\left(a^3+b^3+c^3\right)\). Do đó ta chứng minh một BĐT chặt hơn là:
\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+3abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)+2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(c+b\right)+ca\left(c+a\right)\right]\) (*)
Để ý rằng theo Cô si: \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) (1) và
\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\right]\ge0\) (2)
Do \(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\). Tương tự với hai BĐT còn lại suy ra (2) đúng (3)
Từ (1) và (2) và (3) suy ra (*) đúng hay ta có đpcm.
Bài ngắn làm trước:
Bài 5: Dự đoán xảy ra đẳng thức khi a=1; b=2/3; c=4/3. Ta biến đổi như sau:
\(A=\left(4a^2+4\right)+\left(6b^2+\frac{8}{3}\right)+\left(3c^2+\frac{16}{3}\right)-12\)
\(\ge2\sqrt{4a^2.4}+2\sqrt{6b^2.\frac{8}{3}}+2\sqrt{3c^2.\frac{16}{3}}-12\)
\(=8\left(a+b+c\right)-12=8.3-12=12\)
Dấu "=" xảy ra khi ....
Bài này dùng wolfram alpha cho lẹ, đi thi không dùng được thì em dùng "cân bằng hệ số"
2/
a/ \(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}}=2\), dấu "=" khi \(a=1\)
b/ \(a+b+\frac{1}{2}=a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{4}}+2\sqrt{b.\frac{1}{4}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Dấu "=" khi \(a=b=\frac{1}{4}\)
c/ Có lẽ bạn viết đề nhầm, nếu đề đúng thế này thì mình ko biết làm
Còn đề như vậy: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\) thì làm như sau:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\) ; \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\); \(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{2}{\sqrt{yz}}+\frac{2}{\sqrt{xz}}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\)
Dấu "=" khi \(x=y=z\)
d/ \(\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}-\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}=\frac{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}-\frac{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}\)
\(=\frac{7+4\sqrt{3}}{3-4}-\frac{7-4\sqrt{3}}{3-4}=-7-4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3}=-8\sqrt{3}\)
e/ \(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^3+\left(\sqrt{b}\right)^3}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b-\sqrt{ab}\right)}{\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{ab}}-\left(a-b\right)\) (bạn chép đề sai)
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki
\(\left(\sqrt{4a+3}+\sqrt{4b+3}+\sqrt{4c+3}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(4a+4b+4c+9\right)=63\)
\(\Rightarrow\sqrt{4a+3}+\sqrt{4b+3}+\sqrt{4c+3}\le3\sqrt{7}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
C2 : Áp dụng BĐT cô si cũng đc nhưng mà hơi dài dài tí