Question

[Trần Thanh Phương]

Cho \(a,b,c,d\in R^+\) thỏa mãn \(abc+bcd+cda+dab=1\).

Tìm min \(P=4\cdot\left(a^3+b^3+c^3\right)+9d^3\)

@Nguyễn Việt Lâm @Akai Haruma

Answer 1

[Ngô Bá Hùng]

s ko tag t :vvvv

Do vai trò của a, b, c như nhau nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c = kd, với k là số dương

Khi đó áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta đc

\(\frac{1}{k^2}\left(a^3+b^3+c^2\right)\ge\frac{3abc}{k^2}\\ \frac{a^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}+d^3\ge\frac{2abd}{k^2}\\ \frac{b^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3abcd}{k^2}\\ \frac{c^3}{k^3}+\frac{a^3}{k^3}\ge\frac{3cad}{k^2}\)

Cộng hai vế các BĐT trên ta đc:

\(\left(\frac{1}{k^2}+\frac{2}{k^3}\right)\left(a^3+b^3+c^2\right)+3d^3\ge\frac{3\left(abc+abd+bcd+cad\right)}{k^2}=\frac{3}{k^2}\)

Hay \(\left(\frac{3}{k^2}+\frac{6}{k^3}\right)\left(a^3+b^3+c^2\right)+9d^3\ge\frac{9}{k^2}\)

Ta cần tìm k để \(\frac{3}{k^2}+\frac{6}{k^3}=4\Leftrightarrow4k^3-3k-6=0\) và ta chọn k là số dương

Đặt \(k=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\) thay vào phương trình trên và biến đổi ta thu đc

\(x^6-12x^3+1=0\)

Giải phương trình này ta đc \(x=\sqrt[3]{6\pm\sqrt{35}}\), để ý là \(\left(6+\sqrt{35}\right)\left(6-\sqrt{35}\right)=1\)

nên ta tính đc \(k=\frac{\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}{2}\)

Do đó ta tính đc min của P là \(\frac{36}{\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)^2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = \(\frac{\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}{2}.d>0\)

Answer 2

[Nguyễn Huy Thắng]

nho ko nham la de thi khtn