\(\frac{a+c}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\)+ 
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Đặt \(A=\frac{\left(a+b+c+d\right)\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}{abcde}\)

\(\Rightarrow16A=\frac{\left(a+b+c+d+e\right)^2\left(a+b+c+d\right)\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}{abcde}\)

Áp dụng AM-GM ta có:

\(\Rightarrow16A\ge\frac{4e\left(a+b+c+d\right)^2\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}{abcde}\)

\(\Rightarrow16A\ge\frac{4e.4d\left(a+b+c\right)^2\left(a+b\right)}{abcde}\)

\(\Rightarrow16A\ge\frac{4e.4d.4c\left(a+b\right)^2}{abcde}\)

\(\Rightarrow16A\ge\frac{4e.4d.4c.4ab}{abcde}\)

\(\Rightarrow A\ge16\)

Dấu "=" xảy ra khi đồng thời: 

\(\text{a+b+c+d+e=4, a+b+c+d=e, a+b+c=d, a+b=c, a=b}\)

\(\Rightarrow e=2,d=1,c=\frac{1}{2},a=\frac{1}{4},b=\frac{1}{4}\)

Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh...
Đọc tiếp

Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!

Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).

Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng:

\(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge0\).

Bài 3: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

\(\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c}\ge\frac{4\left(a+b+c\right)}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\).

Bài 4:Cho a,b,c>0, a+b+c=3. Chứng minh rằng: 

a)\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge1\).

b)\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{3}{2}\).

c)\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\).

Bài 5: Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:

\(\frac{2a^2+ab}{\left(b+c+\sqrt{ca}\right)^2}+\frac{2b^2+bc}{\left(c+a+\sqrt{ab}\right)^2}+\frac{2c^2+ca}{\left(a+b+\sqrt{bc}\right)^2}\ge1\).

8
21 tháng 10 2019

1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)

\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\)  (1) 

áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2\(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)

(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\)   <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\)  ( vậy (1) đúng)

dấu '=' khi a=b=c

21 tháng 10 2019

4b, \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}\)

\(\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}\)

22 tháng 11 2016

\(\frac{b+c+d}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}=\frac{\left(a+b+c+d-x\right)+\left(x-a\right)}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}\)\(=\frac{\left(a+b+c+d-x\right)}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)}\)

Áp dụng hoán vị vòng \(b\rightarrow c\rightarrow d\rightarrow a\rightarrow b\) vào VT , ta được :

\(\left(a+b+c+d-x\right)\)[\(\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)\left(a-x\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(b-d\right)\left(b-x\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(c-d\right)\left(c-x\right)}\)\(+\frac{1}{\left(d-a\right)\left(d-b\right)\left(d-c\right)\left(d-x\right)}\).

Quy đồng mẫu thức và tính toán biểu thức trong [ ] ta được :

\(\frac{-1}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)}\)

Vậy ...............

1 tháng 9 2018

Xin phép sửa đề nhé: " Nếu \(\left(a+b+c+d\right)\left(1-b-c-d\right)=\left(a-b-c-d\right)\left(a+b+c+d\right)\)thì \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)"

                        Giải

Từ giả thiết suy ra a = b = c = d

Ta có:\(\left(a+b+c+d\right)\left(1-b-c-d\right)=\left(a-b-c-d\right)\left(a+b+c+d\right)\)

Suy ra: \(\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=\frac{a-b-c-d}{1-b-c-d}\)

Do a = b =c =d nên \(\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=\frac{a-b-c-d}{1-b-c-d}\Leftrightarrow\frac{4a}{4a}=\frac{4b}{4b}=\frac{4c}{4c}=\frac{4d}{4d}\)

Theo tỉ lệ thức ta có thể suy ra \(\frac{4a}{4b}=\frac{4c}{4d}\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}^{\left(đpcm\right)}\)

1 tháng 9 2018

Mạo phép sửa đề:

\(\left(a+b+c+d\right)\left(a-b-c-d\right)=\left(a-b+c-d\right)\left(a+b-c-d\right)\)

\(\Rightarrow a^2-\left(b+c+d\right)^2=\left(a+d\right)^2-\left(b-c\right)^2\)

16 tháng 8 2017

Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dưới dạng Engel ta có :

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(c+b\right)^2}{a}+\frac{\left(a+c\right)^2}{b}\ge\frac{\left(a+b+c+b+c+a\right)^2}{a+b+c}\)

\(=\frac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{a+b+c}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=4\left(a+b+c\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

4 tháng 4 2020

3 bài thì thấy 1 bài có trên mạng rồi, buồn thật:( Bài cuối từ từ tí mở Maple lên check đề. Thấy lạ lạ không dám làm ngay:v

Bài 1: Ez game, chỉ là Buffalo Way, mà Ji Chen (tác giả BĐT Iran 96 có giải rồi, mình không giải lại): hard inequalities

Bài 2: Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{3x}{x+y+z};\frac{3y}{x+y+z};\frac{3z}{x+y+z}\right)\) rồi quy đồng lên xem.

Bài 3: Tí check đề cái đã.

4 tháng 4 2020

Bài 3: Biết lắm mà: Check: \(a=b=1;c=\frac{1}{2}\) thì \(VT-VP=-\frac{1}{8}< 0\)

P/s: Nếu bạn sửa đề, hãy đăng vào bên dưới câu hỏi bạn nhé! Để người đọc còn hiểu mình đang trả lời cái nào:D

27 tháng 4 2017

e)\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

\(=1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\)

\(=\left(1+1\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)

\(=2+\left(\frac{a.a}{b.a}+\frac{b.b}{a.b}\right)\)

\(=2+\frac{a.a+b.b}{b.a}\)

\(\frac{a.a+b.b}{a.b}>=2\) 

Nên \(2+\frac{a.a+b.b}{a.b}>=2+2=4\)

Hay \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)>=4\)

27 tháng 4 2017

a) \(a^2+b^2-2ab\)

\(=\left(a-b\right)^2\)

\(\left(a-b\right)^2\) là binh phương của một số nên \(\left(a-b\right)^2>=0\)

Hay \(a^2+b^2-2ab>=0\)