Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải :
Ta có: \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}\ge1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}+1-\frac{1}{1+d}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\) ( Cô-si )
Chứng minh tương tự ta cũng có :
\(\frac{1}{1+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\); \(\frac{1}{1+c}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\);
\(\frac{1}{1+d}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Nhân theo vế 4 BĐT ta được :
\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\ge81\sqrt[3]{\frac{a^3b^3c^3d^3}{\left(a+1\right)^3\left(b+1\right)^3\left(c+1\right)^3\left(d+1\right)^3}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\ge81\cdot\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow1\ge81\cdot abcd\)
\(\Leftrightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{3}\)
chết dòng thứ 5 từ dưới lên thiếu biến \(d\) trên tử số :( ai rủ lòng thương sửa hộ phát :>
Ta có:
\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}\ge1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}+1-\frac{1}{d+1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\)
\(\frac{1}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\)
\(\frac{1}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Nhân theo vế ta được:
\(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge\frac{81abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow1\ge81abcd\Leftrightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)
Vậy \(abcd\le\frac{1}{81}\) (Đpcm)
Ta có: \(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\le1-\frac{d}{d+1}=\frac{1}{d+1}\\\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1}\\\frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{b}{b+1}=\frac{1}{b+1}\\\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{c}{c+1}=\frac{1}{c+1}\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{1}{d+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\\\frac{1}{a+1}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\\\frac{1}{b+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\\\frac{1}{c+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\end{matrix}\right.\)
Nhân từng vế:
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\sqrt[3]{\frac{a^3b^3c^3d^3}{\left(a+1\right)^3\left(b+1\right)^3\left(c+1\right)^3}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge\frac{81abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)
\(\Rightarrow1\ge81abcd\)
Vậy \(abcd\le\frac{1}{81}\left(đpcm\right)\)
p/s : lí do tớ tự trả lời câu hỏi của mình là để coi câu trả lời của mình có đúng hay ko thôi nha , mong các bạn đứng có hiểu lầm , nếu bạn nào có cách nào nhanh và gọn hơn thì phiền các bạn chỉ dùm luôn nha.
Mình nghĩ cách làm của bạn là ok rồi đấy
Bản chất là ngắn, có điều bạn trình bày quá cẩn thận nên khiến nó dài thôi. Khuyên chân thành là nếu đi thi sau khi áp dụng quy tắc "tương tự" để đỡ tốn thời gian hơn, cũng k bị mất điểm.
Ẹt số xui đưa link cũng bị duyệt
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{d+1}=1-\frac{d}{d+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\). TƯơng tự cho 3 BĐT còn lại
\(\frac{1}{a+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}};\frac{1}{b+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}};\frac{1}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\)
Nhân theo vế 4 BDT trên ta có:
\(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\sqrt[3]{\left(\frac{abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\right)^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge\frac{81abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)
Hay ta có ĐPCM
Bài 1.
A = 1/(a + 1) + 1/(b + 1) + 1/(c + 1) + 1/(d + 1) ≥ 3
→ 1/(a + 1) ≥ 1 - 1/(b + 1) + 1 - 1/(c + 1) + 1 - 1/(d + 1)
→ 1/(a + 1) ≥ b/(b + 1) + c/(c + 1) + d/(d + 1)
áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
b/(b + 1) + c/(c + 1) + d/(d + 1) ≥ 3 ³√(bcd)/[(b + 1)(c + 1)(d + 1)]
→ 1/(a + 1) ≥ 3 ³√(bcd)/[(b + 1)(c + 1)(d + 1)] tương tự
1/(b + 1) ≥ 3 ³√(acd)/[(a + 1)(c + 1)(d + 1)]
1/(c + 1) ≥ 3 ³√(abd)/[(a + 1)(b + 1)(d + 1)]
1/(d + 1) ≥ 3 ³√(abc)/[(a + 1)(b + 1)(c + 1)]
nhân theo vế → 1/[(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1)] ≥ 81abcd/[(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1)]
→ 1 ≥ 81abcd → abcd ≤ 1/81
TK NHA
Áp dụng BDT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a+1}\ge1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}+1-\frac{1}{d+1}\)
\(=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\)
Tương tự cho các BĐT còn lại cũng có:
\(\frac{1}{b+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\)
\(\frac{1}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\)
\(\frac{1}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Nhân theo vế 4 BĐT trên ta có:
\(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\sqrt[3]{\left(\frac{abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}\right)^3}\)
\(\Rightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)
Gọi cái vế trái của BĐT cần c/m là P
Áp dụng BĐT Cô-si dạng \(\frac{1}{a+b+c+x+y+z}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c = x = y = z
và \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c = x = y = z
Ta có \(\frac{1}{10a+b+c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+\left(a+a\right)+\left(a+a\right)+\left(a+a\right)+\left(a+a\right)}\)
\(\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+4.\frac{1}{a+a}\right)\le\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+\frac{2}{a}\right]\)
\(=\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{2}{a}\right]\) (1)
Tương tự \(\frac{1}{10b+c+a}\le\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{2}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+\frac{2}{b}\right]\) (2)
và \(\frac{1}{10c+a+b}\le\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{2}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{2}{c}\right]\) (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
\(P\le\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)+\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)\right]=...=\frac{1}{12}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Kết hợp \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\le\frac{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{6}\) (theo đề bài) và BĐT \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Ta có \(P^2\le\frac{1}{144}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{144}\left[\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\right]\)
\(\le\frac{1}{144}\left(\frac{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{6}+\frac{2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\right)\)
Suy ra \(P^2\le\frac{1}{144}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le\frac{1}{144}\left(\frac{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{6}+\frac{2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\right)\)
Đặt \(t=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) thì \(\frac{1}{144}t^2\le\frac{1}{144}\left(\frac{1+t}{6}+\frac{2t^2}{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(2t^2-t-1\le0\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{-1}{2}\le t\le1\)
Do đó \(P^2\le\frac{1}{144}t^2\le\frac{1}{144}.1^2=\frac{1}{144}\) \(\Rightarrow\) \(P\le\frac{1}{12}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=3\)
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(VT=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a =b = c
b)Tương tự câu a
c)\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\)
Tương tự 3 BĐT còn lại và cộng theo vế ta được \(VT\ge2\)
Nhưng dấu "=" không xảy ra nên ta có đpcm.
d) Chưa nghĩ ra.
Bài 2:
a) Đề thiếu (or sai hay sao ý)
d, Với a,b >0.Áp dụng bđt svac-xơ có:
\(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{a}+\frac{2}{2b}\ge\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2}{a+2b}=\frac{5+2\sqrt{6}}{a+2b}>\frac{\sqrt{24}+2\sqrt{6}}{a+2b}\)
=> \(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}>\frac{4\sqrt{6}}{a+2b}\)
Từ giả thiết => \(\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1}\)
Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương : \(\frac{1}{a+1}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\). Tương tự: \(\frac{1}{b+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\)
\(\frac{1}{c+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\)
\(\frac{1}{d+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Nhân từ 4 bđt: \(1\ge81abcd\Rightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)