Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(A=\frac{\left(a+b+c+d\right)\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}{abcde}\)
\(\Rightarrow16A=\frac{\left(a+b+c+d+e\right)^2\left(a+b+c+d\right)\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}{abcde}\)
Áp dụng AM-GM ta có:
\(\Rightarrow16A\ge\frac{4e\left(a+b+c+d\right)^2\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}{abcde}\)
\(\Rightarrow16A\ge\frac{4e.4d\left(a+b+c\right)^2\left(a+b\right)}{abcde}\)
\(\Rightarrow16A\ge\frac{4e.4d.4c\left(a+b\right)^2}{abcde}\)
\(\Rightarrow16A\ge\frac{4e.4d.4c.4ab}{abcde}\)
\(\Rightarrow A\ge16\)
Dấu "=" xảy ra khi đồng thời:
\(\text{a+b+c+d+e=4, a+b+c+d=e, a+b+c=d, a+b=c, a=b}\)
\(\Rightarrow e=2,d=1,c=\frac{1}{2},a=\frac{1}{4},b=\frac{1}{4}\)
ta có \(Q=\frac{a^2+2a+1}{2a^2+\left(1-a\right)^2}+...\)
\(=\frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1}+...=\frac{1}{3}+\frac{\frac{8}{3}a+\frac{2}{3}}{3a^2-2a+1}+...\)
\(=1+\frac{\frac{8}{3}a+\frac{2}{3}}{3a^2-2a+1}+\frac{\frac{8}{3}b+\frac{2}{3}}{3b^2-2b+1}+\frac{\frac{8}{3}c+\frac{2}{3}}{3c^2-2c+1}\)
mà \(3a^2-2a+1=3\left(a-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)
=>\(\frac{\frac{8}{3}a+\frac{2}{3}}{3a^2-2a+1}\le\frac{\frac{8}{3}a+\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\left(\frac{8}{3}a+\frac{2}{3}\right)=4a+1\)
tương tự mấy cái kia rồi + vào, ta có
\(Q\le1+4\left(a+b+c\right)+3=8\)
dấu = xảy ra <=>a=b=c=1/3
^_^
Ta co: \(\left(a+b+c\right)abc=1\)
\(\Rightarrow a+b+c=\frac{1}{abc}\)
Thay vào A, ta có:
\(A=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
\(=\left(a^2+ab+ac\right)+bc\)
\(=a\left(a+b+c\right)+bc\)
\(a\frac{1}{abc}+bc\)
\(=bc+\frac{1}{bc}\)\(\ge2\sqrt{bc.\frac{1}{bc}}=2\)
Dấu = xảy ra khi bc=1
A=\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\)
= \(\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\)
= \(2+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\)
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}\)
⇔\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)
⇔\(2+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge4\)
⇔ A ≥4
=> Min A =4
dấu "=" xảy ra khi
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{a}\)
⇔a2=b2
⇔a=b
vậy Min A =4 khi a=b
easy !
Áp dụng bđt cauchy schwarz dạng engel :
\(VT=\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{1^2}{c}\ge\frac{3^2}{1}=9\)
dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Có thưởng thì thưởng số chẵn a nhé :)) ko thích 1001 đâu !
Bài 1 :
a, \(f\left(x\right)=x\left(1-2x\right)+\left(2x^2-x+d\right)\)
\(=x-2x^2+2x^2-x+d=d\)
Đặt \(f\left(x\right)=0\)hay \(d=0\)
Vậy phươnng trình có nghiệm là d = 0 (đề có j sai ko nhỉ?)
b, \(g\left(x\right)=x\left(x-1\right)+1=x^2-x+1\)
Ta có : \(\left(-1\right)^2-4=1-4< 0\)Vô nghiệm
Nhân cả 2 vế với a+b+c
Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b};\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)luôn đúng do a;b>0
dễ rồi nhé
b) \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
\(P=\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel (mình nói bđt như vậy,chỗ này bạn cứ nói theo cái bđt đề bài cho đi) ta được:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\)
=>\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
=>Pmax=3/4 <=> x=y=z=1/3
\(4=\left(a+b+c+d\right)^2\ge4\left(a+b+c\right).d\)
\(\Rightarrow1\ge\left(a+b+c\right).d\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\left(a+b+c\right)^2d\ge4\left(a+b\right).c.d\)
\(\Rightarrow A=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}{abcd}\ge\frac{4\left(a+b\right)^2.cd}{abcd}\ge\frac{16ab.cd}{abcd}=16\)
Nên GTNN của A là 16 đạt được khi \(a=b=\frac{1}{4};c=\frac{1}{2};d=1\)