Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(c^2-6c+9+d^2-8d+16=0\Leftrightarrow\left(c-3\right)^2+\left(d-4\right)^2=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=3\\d=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=25-\left(3a+4b\right)\)
Mặt khác \(\left(3a+4b\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(a^2+b^2\right)=50\)
\(\Rightarrow-5\sqrt{2}\le3a+4b\le5\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P\le25+5\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P_{max}=25+5\sqrt{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{-3\sqrt{2}}{5}\\b=\frac{-4\sqrt{2}}{5}\end{matrix}\right.\)
Ta có \(x^3+y^3\ge\frac{1}{4}\left(x+y\right)^3;xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\) với mọi \(x,y>0\)
Kết hợp với giả thiết suy ra :
\(\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)^3\le\left(a+b\right)^3+c^3\le4\left(a^3+b^3\right)+c^3\le2\left(a+b+c\right)\left(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4}-2\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge4\)
Khi đó sử dựng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{2a^2}{3a^2+b^2+2a\left(c+2\right)}=\frac{a}{a+c+2+\left(\frac{b^2}{2a}+\frac{a}{2}\right)}\le\frac{a}{a+c+2+2\sqrt{\frac{b^2}{2a}.\frac{a}{2}}}=\frac{a}{a+b+c+2}\)
Và \(\left(a+b\right)^2+c^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2\)
Suy ra \(P\le\frac{a+b+c}{a+b+c+2}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{32}\)
Đặt \(t=a+b+c\ge4,P\le f\left(t\right)=\frac{t}{t+2}-\frac{t^2}{32}\)
Ta có : \(f'\left(t\right)=\frac{2}{\left(t+2\right)^2}-\frac{t}{16}=\frac{32-t\left(t+2\right)^2}{16\left(t+2\right)^2}<0\) với mọi \(t\ge4\)
Suy ra hàm số \(f'\left(t\right)\) nghịch biến trên \(\left(4;+\infty\right)\). Do đó \(P\le f\left(t\right)\le f\left(4\right)=\frac{1}{6}\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\begin{cases}a=b;a+b=c\\a+b+c=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow a=b=1,c=2\)
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng \(\frac{1}{6}\)
ta có \(T=\frac{1}{2}\left(1-\frac{a^2}{2+a^2}+1-\frac{b^2}{2+b^2}+1-\frac{c^2}{2+c^2}\right)=\frac{1}{2}\left[3-\left(\frac{a^2}{2+a^2}+\frac{b^2}{2+b^2}+\frac{c^2}{2+c^2}\right)\right]\)
ta chứng minh rằng \(\frac{a^2}{2+a^2}+\frac{b^2}{2+b^2}+\frac{c^2}{2+c^2}\ge1\)khi đó ta sẽ có \(T\le1\)
thật vậy, áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy-Schwarz ta có \(\frac{a^2}{2+a^2}+\frac{b^2}{2+b^2}+\frac{c^2}{2+c^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}\)
ta cần chứng minh rằng \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}\ge1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge a^2+b^2+c^2+6\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\)
thật vậy, từ giả thiết ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le a+b+c\Leftrightarrow ab+bc+ca\le abc\left(a+b+c\right)\left(1\right)\)
mà \(abc\left(a+b+c\right)\le\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3}\)
từ (1) ta có \(\frac{ab+bc+ca}{3}\le\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3}\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\left(đpcm\right)\)
vậy maxT=1 khi a=b=c=1
Gọi T là tập giá trị của A. Điều kiện để \(m\in T\) là hệ phương trình sau có nghiệm \(\left(x,y\right)\) với \(x\ne0;y\ne0\)
\(\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}=m\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{x^3y^3}=m\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{xy\left(x+y\right)}{x^3y^3}=m\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2y^2}=m\end{cases}\) (1)
Đặt \(S=x+y\)
\(P=xy;\left(S^2\ge4P\right)\) . Hệ (1) trở thành \(\begin{cases}SP=S^2-3P\\\frac{S^2}{P^2}=m\end{cases}\) (2)
Hệ (1) có nghiệm \(\left(x,y\right)\) với \(x\ne0;y\ne0\) khi và chỉ khi hệ (2) có nghiệm (S,P) thỏa mãn \(S^2\ge4P;P\ne0\) do
\(S^2-3P=x^2-xy+y^2=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}>0\) với mọi \(x\ne0;y\ne0\) nên SP > 0 \(\Rightarrow\frac{S}{P}>0\)
Như thế :
* Nếu \(m\le0\) thì hệ (2) vô nghiệm
* Nếu m > 0 thì
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\begin{cases}SP=S^2-3P\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{m}P^2=mP^2-3P\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(m-\sqrt{m}\right)P^2-3P=0\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\) do \(P\ne0\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(m-\sqrt{m}\right)P=3\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\) (3)
Hệ (3) có nghiệm khi và chỉ khi \(m-\sqrt{m}\ne0\Leftrightarrow m\ne1\), lúc này từ (3) ta có :
\(P=\frac{3}{m-\sqrt{m}}\Rightarrow S=\frac{3}{\sqrt{m}-1}\)
Hệ (2) có nghiệm (S;P) thỏa mãn \(S^2\ge4;P\ne0\) khi và chỉ khi:
\(0< m\ne1\) và \(\frac{9}{\left(\sqrt{m}-1\right)^2}\ge\frac{12}{\sqrt{m}\left(\sqrt{m}-1\right)}\)
\(\Leftrightarrow0< m\ne1\) và \(3\sqrt{m}\ge4\left(\sqrt{m}-1\right)\)
\(\Leftrightarrow0< m\ne1\) và \(\sqrt{m}\le4\Leftrightarrow m\in\) (0;16] \ \(\left\{1\right\}\)
Tập giá trị của A là (0;16] \ \(\left\{1\right\}\) suy ra max A = 16 ( không tồn tại min A)
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
Do a+b+c khác ) nên:
\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2]=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Do đó:
Q=\(\frac{a^2+3b^2+5c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{9a^2}{9a^2}=1\)
có giá trị ko đổi
\(c^2+d^2+25=6c+8d\)
\(\Leftrightarrow\left(c^2-6c+9\right)+\left(d^2-8d+16\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-3\right)^2+\left(d-4\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-3=0\\d-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=3\\d=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=25-3a-4b=25-\left(3a+4b\right)=25-Q\)
Xét \(Q=3a+4b\Rightarrow Q^2=\left(3a+4b\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(a^2+b^2\right)=25.2=50\)
\(\Rightarrow Q^2\le50\Rightarrow-5\sqrt{2}\le Q\le5\sqrt{2}\Rightarrow-Q\le5\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P\le25+5\sqrt{2}\)
\(P_{max}=25+5\sqrt{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=2\\\frac{a}{3}=\frac{b}{4}\\3a+4b=-5\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{3\sqrt{2}}{5}\\b=-\frac{4\sqrt{2}}{5}\end{matrix}\right.\)