\( a+b+c=abc\)

CMR \(a(b^2-1)(c^2-1)+b(a^2-1)(c^2-1)+c...">

K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

30 tháng 9 2021

\(a\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)+b\left(a^2-1\right)\left(c^2-1\right)+c\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\\ =\left(ab^2-a\right)\left(c^2-1\right)+\left(a^2b-b\right)\left(c^2-1\right)+\left(a^2c-c\right)\left(b^2-1\right)\\ =ab^2c^2-ab^2-ac^2+a+a^2bc^2-a^2b-bc^2+b+a^2b^2c-a^2c-b^2c+c\\ =abc\left(ab+bc+ac\right)-\left(a^2b+ab^2+ac^2+bc^2+a^2c+b^2c\right)+\left(a+b+c\right)\\ =abc\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)+3abc-\left[\left(a^2b+ab^2+abc\right)+\left(b^2c+bc^2+abc\right)+\left(a^2c+ac^2+abc\right)\right]\\ =abc\left(ab+bc+ca\right)+abc+3abc-\left[ab\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)\right]\\ =4abc+abc\left(ab+bc+ca\right)-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\\ =4abc+abc\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(ab+bc+ca\right)=4abc\)

9 tháng 6 2016

Ta có: \(a+b+c=abc\)

=>\(\frac{a+b+c}{abc}=1\)

=>\(\frac{a}{abc}+\frac{b}{abc}+\frac{c}{abc}=1\)

=>\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Lại có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)

=>\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=2^2\)

=>\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=4\)

=>\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2=4\)

=>\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\)

=>ĐPCM

9 tháng 6 2016

À thấy rồi, làm nè :

Ta có 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 
= (1/a + 1/b + 1/c)^2 - 2 (1/ab + 1/ac + 1/bc) 
= 4 - 2 (c/abc + b/ abc + a/ abc) 
= 4 - 2 (a+b+c)/abc 
= 4 - 2abc / abc 
= 4 - 2 
= 2 (đpcm)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 11 2017

Lời giải:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)

\(\Rightarrow \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}=4\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{4-2}{2}=1\) (do \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\) )

\(\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{abc}=1\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=abc\)

Do đó ta có đpcm.

26 tháng 11 2017

nhưng cô ơi trong đề chỉ nói 1/a+1/b+1/c=2 chứ có phải 1/a^2+1/b^2+1/c^2=2 đâu cô?

8 tháng 8 2016

Bài 1

\(x+y+z=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=-z\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3=-z^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=-z^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3-3xyz=-z^3\) (vì x+y=-z)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)

25 tháng 8 2020

Bài làm:

Ta có:

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=(a+b-2c)2+(b+c-2a)2+(c+a-2b)2

<=> a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ca+a2=6a2+6b2+6c2-6(ab+bc+ca)

<=> \(4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4bc-4ca=0\)

<=> \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

<=> \(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

=> \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)

25 tháng 8 2020

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=\left(a+b-2c\right)^2+\left(b+c-2a\right)^2+\left(c+a-2b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2-4ab-4bc-4ca=\left(a+b\right)^2\)

\(+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2-4\left(b+c\right)a+4a^2-4\left(c+a\right)b+4b^2-4\left(a+b\right)c+4c^2\)

\(\Leftrightarrow-4ab-4bc-4ca=-4\left(b+c\right)a+4a^2-4\left(c+a\right)b+4b^2-4\left(a+b\right)c+4c^2\)

\(\Leftrightarrow ab-\left(a+b\right)c+c^2+bc-\left(b+c\right)a+a^2+ca-\left(c+a\right)b+b^2=0\)

\(\Leftrightarrow ab-ac-bc+c^2+bc-ba-ca+a^2+ca-cb-ab+b^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)

NV
29 tháng 10 2020

Bạn chỉ cần để ý điều này thôi: \(\left(x-\frac{1}{x}\right)^2=x^2-2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2-2+\frac{1}{x^2}\)

Do đó giả thiết viết lại thành:

\(\left(a^2-2+\frac{1}{a^2}\right)+\left(b^2-2+\frac{1}{b^2}\right)+\left(c^2-2+\frac{1}{c^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+\left(b-\frac{1}{b}\right)^2+\left(c-\frac{1}{c}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-\frac{1}{a}=0\\b-\frac{1}{b}=0\\c-\frac{1}{c}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{a}\\b=\frac{1}{b}\\c=\frac{1}{c}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=1\\b^2=1\\c^2=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2\right)^{1010}=1^{1010}\\\left(b^2\right)^{1010}=1^{1010}\\\left(c^2\right)^{1010}=1^{1010}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^{2020}=1\\b^{2020}=1\\c^{2010}=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}=3\)

11 tháng 6 2018

Bạn làm bài kiểm tra hả sao nhiều bài tek. Mk làm mất khá nhiều tg luôn đó Ôn tập cuối năm phần số họcÔn tập cuối năm phần số họcÔn tập cuối năm phần số họcÔn tập cuối năm phần số học

11 tháng 6 2018

Có một số câu thì mình không làm được. Mong bạn thông cảm!!!

Ôn tập cuối năm phần số họcÔn tập cuối năm phần số học