Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b3: Vì x:y:z= a:b:c
nên x/a= y/b=z/c
ADTCCDTSBN, ta có:
x/a=y/b=z/c= (x/a)^2=(y/b)^2=(z/c)^2=(x+y+z)^2
x/a=y/b=z/c suy ra (x/a)^2=(y/b)^2=(z/c)^2=(x+y+z)^2
suy ra x^2/a^2 = y^2/b^2 = z^2/c^2= (x+y+z)^2
ADTCCDTSBN, có:
(x+y+z)^2= x^2/a^2=...=z^2/c^2=x^2+y^2+z^2/a^2+b^2+c^2= x^2+y^2+z^2/1= x^2+y^2+z^2
Vậy...
Ta có: a+b+c=1 <=>(a+b+c)2 = 1 <=> ab+bc+ca=0 (1)
Theo dãy tỉ số bằng nhau ta có:
xa=yb=zc=x+y+za+b+c=x+y+z1=x+y+z
<=> x = a(x+y+z) ; y = b(x+y+z) ; z = c(x+y+z)
=> xy+yz+zx= ab(x+y+z)2+bc(x+y+z)2+ca(x + y + z)2
<=> xy+yz+zx =(ab+bc+ca)(x+y+z)2 (2)
từ (1) và (2) => xy + yz + zx = 0
Mình nhâm sorry
Từ x : y : z = a : b : c
=> xa=yb=zcxa=yb=zc
=> ax=by=czax=by=cz
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:
ax=by=cz=a+b+cx+y+z=1x+y+zax=by=cz=a+b+cx+y+z=1x+y+z (Vì a + b + c = 1) (*1)
Ta có : ax=by=czax=by=cz
=> (ax)2=(by)2=
Các bạn giúp mình với, mai mình phải nộp rồi, ai nhanh mình k cho !!!
bn này ra toàn bài khó nhỉ :)
đặt \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\Rightarrow x=ak,y=bk,z=ck\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=\left(ak\right)^2+\left(bk\right)^2+\left(ck\right)^2=k^2.\left(a^2+b^2+c^2\right)=k^2.1=k^2\left(1\right)\)
\(\left(x+y+z\right)^2=\left(ak+bk+ck\right)^2=\left[k.\left(a+b+c\right)\right]^2=\left(k.1\right)^2=k^2\left(2\right)\)
từ (1) và (2) => đpcm
ps: ko chắc lắm :))
Ta có : \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\) vì a + b + c = 1
Do đó \((x+y+z)^2=\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\)vì \(a^2+b^2+c^2=1\)
Vậy :
5. Cho a, b, c > 0, a^2 + b^2 + c^2 = 1 và x = a√(b + c), y = b√(c + a), z = c√(a + b). Chứng minh:
\(x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 2\)
Chứng minh:
Ta có:
\(x^{2} = a^{2} \left(\right. b + c \left.\right)\)
Tương tự cho y^2, z^2.
\(x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} \left(\right. b + c \left.\right) + b^{2} \left(\right. c + a \left.\right) + c^{2} \left(\right. a + b \left.\right)\)\(= a^{2} b + a^{2} c + b^{2} c + b^{2} a + c^{2} a + c^{2} b\)\(= a^{2} b + a^{2} c + b^{2} c + b^{2} a + c^{2} a + c^{2} b\)
Nhóm lại:
\(= a^{2} b + b^{2} a + a^{2} c + c^{2} a + b^{2} c + c^{2} b\)\(= a b \left(\right. a + b \left.\right) + a c \left(\right. a + c \left.\right) + b c \left(\right. b + c \left.\right)\)
Do \(a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1\), theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc AM-GM, ta có:
\(x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 2\)
Dấu "=" xảy ra khi hai trong ba số a, b, c bằng 0 và số còn lại bằng 1; nhưng do a, b, c > 0, dấu "=" không xảy ra.