K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ND
2 tháng 8 2016
Ta có: \(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2=1\)
Mặt khác: \(\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
Cộng 2 vế của 2 phương trình trên ta có:
\(2a^2+2b^2\ge1\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1/2
ML
10 tháng 8 2015
\(M\ge3\left(ab+bc+ca\right)+2\sqrt{\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)}=3\left(ab+bc+ca\right)+2\sqrt{1-2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\text{Đặt }t=\sqrt{1-2\left(ab+bc+ca\right)}\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{1-t^2}{2}\)
\(\text{Ta có: }0\le ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\in\left[0;\frac{1}{3}\right]\)
\(\Rightarrow-2\left(ab+bc+ca\right)\in\left[-\frac{2}{3};0\right]\)
\(\Rightarrow1-2\left(ab+bc+ca\right)\in\left[\frac{1}{3};1\right]\)
\(\Rightarrow t\in\left[\frac{1}{\sqrt{3}};1\right]\)
\(M=3.\frac{1-t^2}{2}+2t=-\frac{3}{2}t^2+2t+\frac{3}{2}\)
Lập bảng biến thiên hàm bậc 2, suy ra \(\text{Min }M\text{ (}t\in\left[\frac{1}{\sqrt{3}};1\right]\text{) }=2\text{ tại }t=1\)
Vậy GTNN của M là 2 khi t = 1 hay \(ab+bc+ca=0\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(1;0;0\right);\left(0;0;1\right);\left(0;1;0\right)\)
TV
6
NT
1
21 tháng 12 2016
(Đề có cho \(a,b,c\) dương không bạn? Nếu có thì ta làm như sau:)
Dự đoán \(P\) đạt GTNN tại \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\), nghĩa là \(\frac{1}{abc}=3\sqrt{3}\).
Vậy ta tách: \(P=9a+9b+9c+\frac{1}{abc}-8\left(a+b+c\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy và BĐT \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) ta có:
\(P\ge4.\sqrt[4]{9^3}-8\sqrt{3}=4\sqrt{3}\). Đẳng thức xảy ra tại \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
LD
0