Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
áp dụng bđt cô si ta có:
\(\frac{a^8}{b^3}+a^2b^3\ge2a^5;\frac{b^8}{c^3}+b^2c^3\ge2b^5;\frac{c^8}{a^3}+c^2a^3\ge2c^5\)
\(\Rightarrow\frac{a^8}{b^3}+\frac{b^8}{c^3}+\frac{c^8}{a^3}\ge2\left(a^5+b^5+c^5\right)-\left(a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\right)\)
áp dụng bđt cô si ta có:
\(a^5+a^5+b^5+b^5+b^5\ge5\sqrt[5]{a^5.a^5.b^5.b^5.b^5}=5a^2b^3\)
\(b^5+b^5+c^5+c^5+c^5\ge5\sqrt[5]{b^5.b^5.c^5.c^5.c^5}=5b^2c^3\)
\(c^5+c^5+a^5+a^5+a^5\ge5\sqrt[5]{c^5.c^5.a^5.a^5.a^5}=5c^2a^3\)
\(\Rightarrow5\left(a^5+b^5+c^5\right)\ge5\left(a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\right)\Rightarrow a^5+b^5+c^5\ge a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\)
\(\Rightarrow2\left(a^5+b^5+c^5\right)-\left(a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\right)\ge a^5+b^5+c^5\)
\(\frac{a^8}{b^3}+\frac{b^8}{c^3}+\frac{c^8}{a^3}\ge a^5+b^5+c^5\left(Q.E.D\right)\)
dấu = xảy ra khi a=b=c
Từ \(4\left(a+b+c\right)=3abc\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{3}{4}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3}\cdot\frac{1}{b^3}\cdot\frac{1}{8}}=\frac{3}{2ab}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế
\(2VT+\frac{3}{8}\ge\frac{3}{2}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=\frac{9}{8}\)
\(\Leftrightarrow2VT\ge\frac{3}{4}\Leftrightarrow VT\ge\frac{3}{8}=VP\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
thắng nguyễn , e tưởng Bất đẳng thức AM-AG khác cô si chứ
vd nhé cho a+b+c=3 ( dự đoán a=b=c=1
áp dụng BDT AM-AG
ta có
\(3a+3-2\ge2\sqrt[3]{9a}-2=6-2=4\)
tức là ở đề bài cho 1a mình + thêm 2a tức là a+2a=3a thì mình phải trừ đi 2( vì a=1) để cho BDT vẫn như cũ chứ @@
Ta áp dụng bất đẳng thức phụ sau đây liên tiếp: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0.\)
Khi đó \(a^8+b^8+c^8\ge a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^2b^4c^2+a^2b^2c^4+a^4b^2c^2\)
\(=a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ca\right)\).
Vậy ta có \(a^8+b^8+c^8\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ca\right)\to\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\ge\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Lời giải:
Từ \(4(a+b+c)=3abc\Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{3}{4}\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3}.\frac{1}{b^3}.\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}.\frac{1}{ab}\)
\(\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}.\frac{1}{bc}\)
\(\frac{1}{c^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}.\frac{1}{ac}\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được:
\(2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\geq \frac{3}{2}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)-\frac{3}{8}=\frac{3}{2}.\frac{3}{4}-\frac{3}{8}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq \frac{3}{8}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
<3
Cần CM: \(\frac{a}{\left(1-a\right)^3}\ge\frac{135}{16}a-\frac{27}{16}\)\(\left(0< a< 1\right)\)
thaajt vậy, bđt \(\Leftrightarrow\)\(\left(a-\frac{1}{3}\right)^2\left(15a^2-38a+27\right)\ge0\) đúng
\(\Sigma\frac{a}{\left(b+c\right)^3}=\Sigma\frac{a}{\left(1-a\right)^3}\ge\frac{135}{16}\left(a+b+c\right)-\frac{81}{16}=\frac{27}{8}\)
dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1