NT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KN
10 tháng 11 2020
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta được: \(\Sigma_{cyc}\frac{ab}{a^2+bc+ca}=\Sigma_{cyc}\frac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)}\le\Sigma_{cyc}\frac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Ta có: \(\Sigma_{cyc}\frac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2.a\sqrt{ab}.c\sqrt{ab}+2.a\sqrt{bc}.b\sqrt{bc}+2.c\sqrt{ca}.b\sqrt{ca}}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\le\frac{ab^3+bc^3+ca^3+a^3b+abc^2+a^2bc+b^3c+c^3a+ab^2c}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 5 2020
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{a^2+bc+ca}\le\frac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Tương tự: \(\frac{bc}{b^2+ca+ab}\le\frac{bc\left(c^2+ca+ab\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\) ; \(\frac{ac}{c^2+ab+bc}\le\frac{ac\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(VT\le\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2.a\sqrt{ab}.c\sqrt{ab}+2a\sqrt{bc}.b\sqrt{bc}+2c\sqrt{ac}.b\sqrt{ac}}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(VT\le\frac{ab^3+bc^3+ca^3+a^3b+abc^2+b^3c+a^2bc+ac^3+ab^2c}{\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(VT\le\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 8 2019
Lời giải:
a)
Xét hiệu \(\frac{a^3}{b}-(a^2+ab-b^2)=(\frac{a^3}{b}-a^2)-(ab-b^2)\)
\(=\frac{a^3-a^2b}{b}-b(a-b)=\frac{a^2(a-b)}{b}-b(a-b)=(a-b)\left(\frac{a^2}{b}-b\right)\)
\(=(a-b).\frac{a^2-b^2}{b}=\frac{(a-b)^2(a+b)}{b}\geq 0, \forall a,b>0\)
Do đó \(\frac{a^3}{b}\geq a^2+ab-b^2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
b)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương:
\(\frac{a^3}{b}+ab\geq 2a^2\)
\(\frac{b^3}{c}+bc\geq 2b^2\)
\(\frac{c^3}{a}+ac\geq 2c^2\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\)
Mà cũng theo BĐT Cauchy:
\(a^2+b^2+c^2=\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}\geq \frac{2ab}{2}+\frac{2bc}{2}+\frac{2ca}{2}=ab+bc+ca\)
\( \Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\geq 2(ab+bc+ac)-(ab+bc+ac)=ab+bc+ac\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2019
Biến đổi tương đương:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}\ge3\)
b/ \(VT=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+ac+bc\right)}{9\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)^2}}\ge\frac{8.3}{9}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
27 tháng 9 2015
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3-3a^2.b-3a.b^2-3abc=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)=(a+b+c).[(a+b)^2-c.(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c).(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
DK
29 tháng 6 2016
a) Ta có: \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(b+a+c\right)\right]\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
DK
29 tháng 6 2016
b) Ta có: \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow2abc\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=0\)
Ta lại có:
\(a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)^2\)(chứng minh câu a)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+4a^2bc+4ab^2c+4abc^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)
(a + b + c)^2=3(ab+ac+bc)
<=>a^2 +b^2+c^2+2ab+2ac+2bc -3ab-3ac-3bc=0
<=>a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0
<=> 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0
<=> (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) = 0
<=> (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0
<=> a = b = c
t i c k nha!! 4654765756876976978078078076978578769696