Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có a+b+c=2000 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2000}\)
Suy ra: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0\)
\(\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
\(\left(a+b\right)\left(\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{abc\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
\(\left(a+b\right)\left(\frac{ac+bc+c^2+ab}{abc\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
\(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{abc\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)
Mà a+b+c=2000
Với a+b=0 thì c=20000
Với b+c=0 thì a=2000
Với a+c=0 thì b=2000
Vậy trong 3 số a,b,c thì phải có 1 số bằng 2000
b)Ta có: \(a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}\)
\(\Rightarrow a^{2001}+b^{2001}\)\(-a^{2000}-b^{2000}=0\)
\(\Rightarrow a^{2000}\left(a-1\right)+b^{2000}\left(b-1\right)=0\)(1)
và \(a^{2001}+b^{2001}=a^{2002}+b^{2002}\)
\(\Rightarrow a^{2002}+b^{2002}\)\(-a^{2001}-b^{2001}=0\)
\(\Rightarrow a^{2001}\left(a-1\right)+b^{2001}\left(b-1\right)=0\)(2)
Lấy (2) - (1), ta được: \(a^{2000}\left(a-1\right)^2+b^{2000}\left(b-1\right)^2=0\)(3)
Mà \(a^{2000}\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\)và \(b^{2000}\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\)
nên (3) xảy ra\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^{2000}\left(a-1\right)^2=0\\b^{2000}\left(b-1\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1hoaca=0\\b=1hoacb=0\end{cases}}\)
Mà a,b dương nên a = 1 và b = 1
a) Áp dụng BĐT Svac - xơ:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\))
\(P=\frac{2000a}{ab+2000a+2000}+\frac{b}{bc+b+2000}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{a\cdot abc}{ab+abc\cdot a+abc}+\frac{b}{bc+b+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{a^2bc}{ab+a^2bc+abc}+\frac{b}{bc+b+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{a^2bc}{ab\left(ac+c+1\right)}+\frac{b}{b\left(ac+c+1\right)}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ac+c+1}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{ac+c+1}{ac+c+1}=1\)
Đặt bt là P ta có
P = 2000a/(ab + 2000a + 2000) + b/(bc + b + 2000) + c/(ac + c + 1)
= 2000ac/(abc + 2000ac + 2000c) + b/(bc + b + abc) + c/(ac + c + 1)
= 2000ac/(2000 + 2000ac + 2000c) + 1/(1 + c + ac) + c/(ac + c + 1)
= ac/(1 + ac + c) + 1/(ac + c + 1) + c/(ac + c + 1)
= (ac + c + 1)/(ac + c + 1) = 1
Ta có \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=\frac{1}{a-b-c}\)
=> \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b-c}+\frac{1}{c}\)
=> \(\frac{b-a}{ab}=\frac{a-b}{\left(a-b-c\right)c}\)
Khi b - a = 0
=> (b - a)(a - c)(b + c) = 0 (1)
Khi b - a \(\ne0\)
=> ab = -(a - b - c).c
=> ab = -ac + bc + c2
=> ab + ac - bc - c2 = 0
=> a(b + c) - c(b + c) = 0
=> (a - c)(b + c) = 0
=> (b - a)(a - c)(b + c) = 0 (2)
Từ (1)(2) => (b - a)(a - c)(b + c) = 0
=> b - a = 0 hoặc a - c = 0 hoặc b + c = 0
=> a = b hoặc a = c hoặc b = -c
Vậy tồn tại 2 số bằng nhau hoặc đối nhau
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2017}=\frac{1}{a+b+c}\left(a+b+c=2017.\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b=0\\\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac+bc+c^2}=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}c=2017\\ab=-\left(ac+bc+c^2\right)\Rightarrow ab+ac+bc+c^2=0\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}c=2017\\\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+c=0=>b=2017\\b+c=0=>a=2017\end{cases}}\end{cases}}\)\(=>\orbr{\begin{cases}c=2017\\\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0=>\orbr{\begin{cases}a+c=0\\b+c=0\end{cases}< =>\orbr{\begin{cases}b=2017\\a=2017\end{cases}}}\end{cases}}\)=>c=2017 hoặc (a+c)(b+c)=0
=>hoặc c=2017,hoặc a=b=2017
=>đpcm
\(â+b+c=2017\Rightarrow a+b=2017-c\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2017}\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{c-2017}{2017c}=\frac{2017-c}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(c-2017\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{2017c}\right)=0\Leftrightarrow\left(c-2017\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{2017\left(2017-a-b\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-2017\right)\left(b-2017\right)\left(c-2017\right)}{abc}=0\)
Do đó tồn tại ít nhất một số trong các số đã cho bằng 2017
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{n}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b+c-c}{c\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac+bc+c^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+ac+bc+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\Rightarrow c=n-a-b=n\\b+c=0\Rightarrow a=n\\a+c=0\Rightarrow b=n\end{matrix}\right.\)
dùng dãy tỉ số = nhau đi mấy moẹ, bị lé à