Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ab+bc+ca = 4abc
<=> 1/a + 1/b + 1/c = 4
Áp dụng bđt : x^2+y^2+z^2 >= (x+y+z)^2/3 thì :
P >= 1/a^2+1/b^2+1/c^2)^2 /3
>= [(1/a+1/b+1/c)^2/3]^2/3
= [(4^2)/3^]2/3 = 256/27
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=3/4
Vậy ........
Tk mk nha
Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab\forall a,b\Rightarrow\frac{1}{4-ab}\le\frac{2}{8-a^2-b^2}\)
Theo BĐT C-S: \(\frac{2}{8-a^2-b^2}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4-a^2}+\frac{1}{4-b^2}\right)\)
Do đó: \(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\le\frac{1}{4-a^2}+\frac{1}{4-b^2}+\frac{1}{4-c^2}\)
Ta có đánh giá sau: \(\frac{1}{4-a^2}\le\frac{a^4+5}{18}\Leftrightarrow\left(a^2-1\right)^2\left(a^2-2\right)\le0\) (Đúng)
Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng theo vế ta có:
\(\frac{1}{4-a^2}+\frac{1}{4-b^2}+\frac{1}{4-c^2}\le\frac{a^4+5}{18}+\frac{b^4+5}{18}+\frac{c^4+5}{18}=1\)(ĐPCM)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cách khác dùng Schur như sau :)
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(16+3abc\left(a+b+c\right)\ge a^2b^2c^2+8\left(ab+bc+ca\right)\)
Mà \(1\ge a^2b^2c^2\). Mặt khác theo BĐT Schur ta có:
\(\left(a^3+b^3+c^3+3abc\right)\left(a+b+c\right)\ge\)
\(\ge\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\right]\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow3+3abc\left(a+b+c\right)\ge2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+2abc\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(ad+bc\right)^2+\left(bc+ca\right)^2+\left(ca+ab\right)^2\)
BĐT sẽ được c/m xong nếu ta chỉ ra:
\(\left(ab+bc\right)^2+\left(bc+ca\right)^2+\left(ca+ab\right)^2+12\ge8\left(ab+bc+ac\right)\)
Đúng theo BĐT Cô-si
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
#)Tham khảo trong hai link này nhé :
Chứng minh: $\frac{1}{{4 - ab}} + \frac{1}{{4 - bc}} + \frac{1}{{4 - ca}} \le ...https://diendantoanhoc.net › ... › Toán Trung học Cơ sở › Bất đẳng thức và cực trị
Chứng minh rằng: $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\leq 1 ...https://diendantoanhoc.net › ... › Toán Trung học Cơ sở › Bất đẳng thức và cực trị
P/s : Vô thống kê hỏi đáp ms dùng đc link nhé !
Ta có: \(a^4+b^4+c^4=3\Rightarrow0\le a^4;b^4;c^4\le3\Rightarrow0\le a;b;c\le\sqrt[4]{3}\)
=> \(ab,bc,ac\le\sqrt[4]{9}\)
Xét: \(\frac{18}{4-x}\le x^2+5,\forall0\le x\le\sqrt[4]{9}\)
<=> \(18\le\left(x^2+5\right)\left(4-x\right)\)
<=> \(\left(x-1\right)^2\left(2-x\right)\ge0\)luôn đúng với \(\forall0\le x\le\sqrt[4]{9}\)
Như vậy:
\(\frac{18}{4-ab}+\frac{18}{4-bc}+\frac{18}{4-ac}\le\left(ab\right)^2+5+\left(bc\right)^2+5+\left(ac\right)^2+5\)
\(=\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2+15\le\frac{a^4+b^4}{2}+\frac{b^4+c^4}{2}+\frac{a^4+c^4}{2}+15\)
\(=a^4+b^4+c^4+15=18\)
=> \(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}\le1\)
"=" xảy ra <=> a=b=c=1
lp 8 mà khó thế -,-
Có \(4=a^4+b^4+c^4+1\ge4\sqrt[4]{\left(abc\right)^4}=4abc\)\(\Leftrightarrow\)\(-abc\ge-1\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}=\frac{a+b+c}{4-abc}\le\frac{a+b+c}{4-1}=\frac{a+b+c}{3}\)
Lại có \(3=a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\ge\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^4}{9}}{3}=\frac{\left(a+b+c\right)^4}{27}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^4\le81\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\le\frac{a+b+c}{3}\le\frac{3}{3}=1\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
Bài 1:Cách thông thường nhất là sos hoặc cauchy-Schwarz nhưng thôi ko làm:v Thử cách này cho nó mới dù rằng ko chắc
Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c\le1\Rightarrow a+b=3-c\ge2\) và \(a\ge1\)
Ta có \(LHS=a^3.a+b^3.b+c^3.c\)
\(=\left(a^3-b^3\right)a+\left(b^3-c^3\right)\left(a+b\right)+c^3\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a^3-b^3\right).1+\left(b^3-c^3\right).2+3c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3=RHS\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
1a
\(A=\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\ge\frac{6}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}}{2}\)
\(\ge10+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{4}=10+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(A_{min}=\frac{161}{16}\)
1b.\(B=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}}{4}\)
\(\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\right]^2}{8}\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{32}=6+\frac{1}{128}=\frac{769}{128}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(B_{min}=\frac{769}{128}\)khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1
tìm GTLN của P=\(\frac{ab}{c+1}\)+\(\frac{bc}{a+1}\)+\(\frac{ac}{b+1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{\left(c+a\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(\frac{bc}{a+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right);\frac{ac}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P\le\frac{1}{4}\left[\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{b+c}\right)+\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}\right)+\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{4}\left[\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}\right]\)
\(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\cdot1=\frac{1}{4}\left(a+b+c=1\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
ta có a > 0 → b + c < 1
→ 4bc < (b + c)² < 1
→ bc < 1\4
tương tự với ab, ac là => dpcm
ta có a > 0 → b + c < 1
→ 4bc < (b + c)² < 1
→ bc < 1\4
tương tự với ab, ac là => dpcm
(cách này ngắn hơn nè pham trung thanh) Vì a;b;c vai trò như nhau
Giả sử \(c\le a;b\Rightarrow P\le\frac{1}{4-c^2}+\frac{1}{4-c^2}+\frac{1}{4-c^2}=\frac{3}{4-c^2}\left(1\right)\)
Vì\(c\le a;b\Rightarrow c^4\le a^4;b^4\)
Mà \(a^4+b^4+c^4=3\)
\(\Rightarrow3\ge c^4+c^4+c^4=3c^4\)
\(\Rightarrow c^4\le1\Leftrightarrow c^2\le1\)
\(\Rightarrow4-c^2\ge3\Rightarrow\frac{3}{4-c^2}\le1\left(2\right)\)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow P\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Ta có 2A=\(\frac{2}{4-ab}+\frac{2}{4-bc}+\frac{2}{4-ca}=1+1+1-\frac{2-ab}{4-ab}-\frac{2-bc}{4-bc}-\frac{2-ca}{4-ca}\)
=3-(..)
Mà \(\frac{2-ab}{4-ab}=\frac{\left(2-ab\right)\left(2+ab\right)}{\left(2+ab\right)\left(4-ab\right)}=\frac{4-a^2b^2}{8+2ab-a^2b^2}\)
Mà \(3=a^4+b^4+c^4\ge a^4+b^4\ge2a^2b^2\Rightarrow a^2b^2\le\frac{a^4+b^4}{2}\)
Mà \(8+2ab-a^2b^2=9-\left(ab-1\right)^1\le9\)
=>\(\frac{2-ab}{4-ab}\ge\frac{4-\frac{a^4+b^4}{2}}{9}=\frac{4}{9}-\frac{a^4+b^4}{18}\)
tương tự thì ..., rồi cộng lại, ta có
\(\frac{2-ab}{4-ab}+\frac{2-bc}{4-bc}+\frac{2-ca}{4-ca}\ge\frac{4}{3}-\frac{a^4+b^4+c^4}{9}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1\)
=>\(2A\le3-1=2\Rightarrow A\le1\)
^_^