Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab}}+\frac{bc}{2\sqrt{bc}}+\frac{ca}{2\sqrt{ca}}\) (bất đẳng thức cô-si)
\(=\frac{\sqrt{ab}}{2}+\frac{\sqrt{bc}}{2}+\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
\(=\frac{1}{4}\left(2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\right)\)
\(\le\frac{1}{4}\left(a+b+b+c+c+a\right)\)(bất đẳng thức cô si)
\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi a=b=c
1) Theo bđt AM-GM,ta có: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)
Suy ra \(\frac{a^2}{b+c}\ge a-\frac{b+c}{4}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế ta có đpcm
ta có a > 0 → b + c < 1
→ 4bc < (b + c)² < 1
→ bc < 1\4
tương tự với ab, ac là => dpcm
ta có a > 0 → b + c < 1
→ 4bc < (b + c)² < 1
→ bc < 1\4
tương tự với ab, ac là => dpcm
Ta có : \(\frac{a}{a+bc}=\frac{a}{a\left(a+b+c\right)+bc}=\frac{a}{a^2+ab+ac+bc}=\frac{a}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\) (AM-GM)
Tương tự cộng vào sẽ ra