Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tự chứng minh \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\le a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\le9\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le3\)
\(\Rightarrow\sqrt{c^2+3}\ge\sqrt{c^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab}}\le\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}\right)\)
Đến đây dễ rồi để YẾN tự làm
a/Xét hiệu ta có: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{b}-a^2-ab=\left(a+b\right)\left(\frac{a^2-ab+b^2}{b}\right)-a\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(\frac{a^2}{b}-2a+b\right)=\left(a+b\right)\left(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
\(\RightarrowĐPCM\)
b/Tương tự ở câu a, ta cũng có:
\(\frac{a^3}{b}\ge a^2+ab-b^2\left(1\right),\frac{b^3}{c}\ge b^2+bc-c^2\left(2\right),\frac{c^3}{a}\ge c^2+ca-a^2\left(3\right)\)
Cộng (1),(2) và (3) \(VT\ge a^2+ab-b^2+b^2+bc-c^2+C^2+bc-a^2=ab+bc+ca\left(ĐPCM\right)\)
Từ giả thiết ta có: \(ab+bc+ca=abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Xét vế trái: \(\frac{a^4+b^4}{ab\left(a^3+b^3\right)}+\frac{b^4+c^4}{bc\left(b^3+c^3\right)}+\frac{c^4+a^4}{ca\left(c^3+a^3\right)}\)\(=\frac{\frac{a^4+b^4}{a^4b^4}}{\frac{ab\left(a^3+b^3\right)}{a^4b^4}}+\frac{\frac{b^4+c^4}{b^4c^4}}{\frac{bc\left(b^3+c^3\right)}{b^4c^4}}+\frac{\frac{c^4+a^4}{c^4a^4}}{\frac{ca\left(c^3+a^3\right)}{c^4a^4}}\)
\(=\frac{\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}}{\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}}+\frac{\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}}{\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}}+\frac{\frac{1}{c^4}+\frac{1}{a^4}}{\frac{1}{c^3}+\frac{1}{a^3}}\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=1\end{cases}}\)
và ta cần chứng minh \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge1\)
Ta xét BĐT phụ sau: \(\frac{p^4+q^4}{p^3+q^3}\ge\frac{p+q}{2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(p-q\right)^2\left(p^2+pq+q^2\right)\ge0\)(đúng với mọi số thực p,q)
Áp dụng ta có: \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)(1); \(\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}\ge\frac{y+z}{2}\)(2); \(\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{z+x}{2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:
\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=1\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)hay a = b = c = 3
1 ) (a+b+c)^2 >= 3(ab+bc+ac)
<=> a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ac
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 >= 2ab + 2bc + 2ac
<=> a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + a^2 - 2ac + c^2 >= 0
<=> (a - b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 >= 0
( luôn đúng với mọi a ; b ; c )
( đpcm )
2 ) P = \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}+\frac{ab+bc+ac}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ac\right)}+\frac{ab+bc+ac}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ac\right)}\)
AD BĐT Cô - si và BĐT phụ đã cmt ở trên ta có : \(P\ge2.\frac{1}{3}+\frac{8.3.\left(ab+bc+ac\right)}{9\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c
Khôi Bùi : theo e ý 2 có thể đơn giản hóa vấn đề bằng cách đặt ẩn phụ
đặt \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}=t\left(t\ge3\right)\)
\(\Rightarrow P=t+\frac{1}{t}=\frac{t}{9}+\frac{1}{t}+\frac{8}{9}t\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(P\ge2.\sqrt{\frac{t}{9}.\frac{1}{t}}+\frac{8}{9}t\ge\frac{2.1}{3}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b
Cô-si từng phân số , chuyển vế rồi cộng lại nhé