Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq \frac{4}{2ab+a^2+b^2}=\frac{4}{a+b)^2}=4(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(1=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}\Rightarrow \frac{3}{2ab}\geq 6(2)\)
\(a^4+b^4\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}\geq \frac{(\frac{(a+b)^2}{2})^2}{2}=\frac{1}{8}\) \(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \frac{1}{16}(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow P\geq 4+6+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{161}{16}\). Dấu bằng xảy ra tại $a=b=0,5$
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)\geq 2. \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{8}{(x+y)^2}=\frac{9}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{80}{81xy}+5xy\geq 2\sqrt{\frac{80}{81}.5}=\frac{40}{9}\)
\(\frac{4}{3}=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{4}{9}\Rightarrow \frac{1}{81ab}\geq \frac{1}{36}\)
Cộng những BĐT vừa cm được ở trên với nhau:
\(\Rightarrow A\geq \frac{9}{2}+\frac{40}{9}+\frac{1}{36}=\frac{323}{36}\)
Vậy \(A_{\min}=\frac{323}{36}\Leftrightarrow a=b=\frac{2}{3}\)
BT2: Nhân 2 lên, chuyển vế, biến đổi bla..... sẽ ra đpcm
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(a+\dfrac{1}{4a}\text{ ≥}2\sqrt{a.\dfrac{1}{4a}}=2.\dfrac{1}{2}=1\)
\(b+\dfrac{1}{4b}\text{ ≥}2\sqrt{b.\dfrac{1}{4b}}=2.\dfrac{1}{2}=1\)
\(c+\dfrac{1}{4c}\text{ ≥}2\sqrt{c.\dfrac{1}{4c}}=2.\dfrac{1}{2}=1\)
⇒ \(a+b+c+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\text{ ≥}3\)
⇔ \(a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\text{ ≥}3+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\text{ ≥ }3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{a+b+c}\text{ ≥}3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{15}{2}\) ⇒ \(A_{MIN}=\dfrac{15}{2}."="\text{⇔}a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
\(H=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{81}{\left(a+b+c\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{81}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số thực không âm ta có :
\(\dfrac{a^2}{a-1}+4\left(a-1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}\times4\left(a-1\right)}=4a\) (1)
\(\dfrac{2b^2}{b-1}+8\left(b-1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{2b^2}{b-1}\times8\left(b-1\right)}=8b\) (2)
\(\dfrac{3c^2}{c-1}+12\left(c-1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{3c^2}{c-1}\times12\left(c-1\right)}=12c\) (3)
Cộng (1),(2) và (3) vế theo vế ta được :\(P+4a+8b+12c-24\)\(\ge4a+8b+12c\)
\(\Leftrightarrow P\ge24\)
Dấu "=" xảy ra khi :a=b=c=2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P=\(\dfrac{a^2}{a-1}+\dfrac{2b^2}{b-1}+\dfrac{3c^2}{c-1}\) là 24 khi a=b=c=2
P=\(\dfrac{a^2-1+1}{a-1}+\dfrac{2b^2-2+2}{b-1}+\dfrac{3c^2-3+3}{c-1}\)
=\(\left(a+1+\dfrac{1}{a-1}\right)+\left(2\left(b+1\right)+\dfrac{2}{b-1}\right)+\left(3\left(c+1\right)+\dfrac{3}{c-1}\right)\)
=\(\left(a-1+\dfrac{1}{a-1}\right)+\left(2\left(b-1\right)+\dfrac{2}{b-1}\right)+\left(3\left(c-1\right)+\dfrac{3}{c-1}\right)+12\)áp dụng cosi là đc
\(a,A=\left(\dfrac{x+3}{x-9}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)
\(=\left(\dfrac{x+3+\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right).\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{x+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}.\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+3}.\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}\)
\(b,A=\dfrac{\sqrt{x}+3-2}{\sqrt{x}+3}=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}+3}\)
Để A nguyên thì \(\sqrt{x}+3\inƯ\left(2\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+3\in\left\{1;2\right\}\) ( vì \(x\ge0\) )
Với \(\sqrt{x}+3=1\)\(\Rightarrow\sqrt{x}=-2\) ( loại vì \(\sqrt{x}\ge0\) )
Với \(\sqrt{x}+3=2\) \(\Rightarrow\sqrt{x}=-1\) ( loại )
=> ......
a ) Ngại làm quá >,,<
Ơ nhưng mà phân thức \(\dfrac{x+3}{x-9}\) đáng nhẽ phải là \(\dfrac{\sqrt{x}+3}{x-9}\) chứ nhỉ ???
2)a)\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
c)\(a^3+b^3-a^2b-ab^2=a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\\ \Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
b)\(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\Leftrightarrow4a^3+4b^3\ge a^3+b^3+3a^b+3ab^2\\ \Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\)