Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
bài 1
ÁP dụng AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\frac{2c+a}{9}+\frac{b}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3.\left(2c+a\right).b}{b\left(2c+a\right).27}}=a.\)
tương tự ta có:\(\frac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\frac{2a+b}{9}+\frac{c}{3}\ge b,\frac{c^3}{a\left(2b+c\right)}+\frac{2b+c}{9}+\frac{a}{3}\ge c\)
công tất cả lại ta có:
\(P+\frac{2a+b}{9}+\frac{2b+c}{9}+\frac{2c+a}{9}+\frac{a+b+c}{3}\ge a+b+c\)
\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\ge a+b+c\)
Thay \(a+b+c=3\)vào ta được":
\(P+2\ge3\Leftrightarrow P\ge1\)
Vậy Min là \(1\)
dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Đặt \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\)
\(P=\frac{1}{\frac{2x}{y}+1}+\frac{1}{\frac{2y}{z}+1}+\frac{1}{\frac{2z}{x}+1}\)
\(=\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}\)
\(=\frac{y^2}{2xy+y^2}+\frac{z^2}{2yz+z^2}+\frac{x^2}{2zx+x^2}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z<=> a = b = c = 1
Vậy min P = 1 tại a = b = c = 1
Ez to prove \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\frac{6054}{3}\ge ab+bc+ca\Leftrightarrow ab+ca+bc\le2018\)
Khi đó: \(\frac{2a}{\sqrt{a^2+2018}}\le\frac{2a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(P\le\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}=3\)
3.
\(5a^2+2ab+2b^2=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(4a^2+4ab+b^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(2a+b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}\ge2a+b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2b+c};\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{1}{2c+a}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{1}{3}.\sqrt{3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow MaxP=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
#Chưa sửa được mạng nên mượn máy nhà hàng xóm vì lỡ hứa.
Từ giả thiết ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{c}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{2}{c}\Leftrightarrow c=\frac{2ab}{a+b}\)
Thay vào \(M\) , ta được biểu thức mới:
\(M=\frac{a+\frac{2ab}{a+b}}{2a-\frac{2ab}{a+b}}+\frac{b+\frac{2ab}{a+b}}{2b-\frac{2ab}{a+b}}\)\(=\frac{a^2+3ab}{2a^2}+\frac{b^2+3ab}{2b^2}=\frac{1}{2}+\frac{3a}{2b}+\frac{1}{2}+\frac{3b}{2a}\)
\(\Leftrightarrow M=1+\frac{3}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
(Đến đây EZ rồi)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm, ta có:
\(\frac{3}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge\frac{3}{2}.2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=3\)
\(\Rightarrow M\ge4\)
Dấu \(''=''\) xảy ra khi \(a=b=c\)
Bạn thiếu điều kiện nên ko loại được nghiệm thôi.
Do a, b, c> 0 nên x,y>0
Do đó khi biện luận pt trên, ko phải biện luận pt có nghiệm suông mà phải là "có ít nhất một nghiệm dương"