C
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
28 tháng 6 2021
`(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`
`VT>=0`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c`
28 tháng 6 2021
`a^3+b^3+c^3=3abc`
`<=>a^3+b^3+c^3-3abc=0`
`<=>(a+b)^3+c^3-3abc-3ab(a+b)=0`
`<=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0`
`<=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0`
`**a+b+c=0`
`**a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>a=b=c`
T
31 tháng 7 2019
b) \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\) (chuyển vế qua)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)
Do VP >=0 với mọi a, b, c. Nên để đăng thức xảy ra thì a = b = c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 5 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2\ge b^2c+ac^2+a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^2c-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2-b^2c\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)-\left(ab+ac\right)\left(c-b\right)+bc\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\le b\le c\)
Vậy BĐT ban đầu đúng
Câu 2: Đề sai, cho \(a=b=c=1\Rightarrow3\ge6\) (sai)
Đề đúng phải là \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(VT=\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Câu 3: Không phải với mọi x; y với mọi \(x;y\) dương
Biến đổi tương đương do mẫu số vế phải dương nên ta được quyền nhân chéo:
\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^3\ge2x^3+x^2y+xy^2-y^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)
NQ
0
CS
1
15 tháng 12 2016
1) Có: \(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=-c\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-3abc=-c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
2)Có: \(a+b-c=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=c\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3abc=c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-c^3=-3abc\)
11 tháng 9 2017
a. \(a^3+a^2c-abc+b^2c+b^3\)
<=> \(\left(a^3+b^3\right)+c\left(a^2-ab+b^2\right)\)
<=> (\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+c\left(a^2-ab+b^2\right)\)
<=> \(\left(a+b+c\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
vì a+b+c =0 => đpcm
11 tháng 9 2017
b. 2(a+1)(b+1)=(a+b)(a+b+2)
<=> \(2\left(ab+a+b+1\right)=\)\(a^2+ab+2a+ab+b^2+2b\)
<=> \(2ab+2a+2b+2=a^2ab+2a+ab+b^2+2b\)
<=> \(a^2+b^2=2\)=> đpcm
HF
17 tháng 8 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{a-b}=\frac{1}{b-c}-\frac{1}{c}\Leftrightarrow\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b-c}-\frac{1}{a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{c+a-b}{\left(a-b\right)c}=\frac{a-b+c}{\left(b-c\right)a}\)(1)
Do \(\frac{a}{c}=\frac{a-b}{b-c}\Leftrightarrow a\left(b-c\right)=\left(a-b\right)c\)nên (1) đúng, đẳng thức được CM
LM
4 tháng 12 2017
Ta có: \(VT=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ca}+\frac{c^2}{ca+cb}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Mà \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
\(\RightarrowĐPCM\)
KN
15 tháng 6 2020
Đặt \(f\left(a,b,c\right)=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)và \(t=\frac{a+b}{2}\)
Khi đó thì \(f\left(t,t,c\right)=\frac{t}{t+c}+\frac{t}{t+c}+\frac{c}{2t}=\frac{2t}{t+c}+\frac{c}{2t}\)
Ta có: \(f\left(a,b,c\right)=\frac{\left(a^2+b^2\right)+c\left(a+b\right)}{c^2+ab+c\left(a+b\right)}+\frac{c}{a+b}\)\(=\frac{4\left(a^2+b^2\right)+4c\left(a+b\right)}{4c^2+4ab+4c\left(a+b\right)}+\frac{c}{a+b}\)
\(\ge\frac{2\left(a+b\right)^2+4c\left(a+b\right)}{4c^2+\left(a+b\right)^2+4c\left(a+b\right)}+\frac{c}{a+b}\)\(=\frac{8t^2+8tc}{4c^2+4t^2+8tc}+\frac{c}{2t}\)
\(=\frac{2t^2+2tc}{c^2+t^2+2tc}+\frac{c}{2t}=\frac{2t\left(t+c\right)}{\left(t+c\right)^2}+\frac{c}{2t}\)\(=\frac{2t}{t+c}+\frac{c}{2t}=f\left(t,t,c\right)\)
Do đó \(f\left(a,b,c\right)\ge f\left(t,t,c\right)\)
Ta cần chứng minh: \(f\left(t,t,c\right)=\frac{2t}{t+c}+\frac{c}{2t}\ge\frac{3}{2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(t-c\right)^2}{2t\left(t+c\right)}\ge0\)(đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+3\)
\(=\left(\frac{a+b}{c}+1\right)+\left(\frac{b+c}{a}+1\right)+\left(\frac{a+c}{b}+1\right)\)
\(=\left(\frac{a+b}{c}+\frac{c}{c}\right)+\left(\frac{b+c}{a}+\frac{a}{a}\right)+\left(\frac{a+c}{b}+\frac{b}{b}\right)\)
\(=\frac{a+b+c}{c}+\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(=0.\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(=0\left(đpcm\right)\)