Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1,\(T=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=20\left(a^2-ab+b^2\right)=\)
\(=10\left(a^2-2ab+b^2\right)+10\left(a^2+b^2\right)\)
\(\ge10\left(a-b\right)^2+5.\left(a+b\right)^2\ge0+5.20^2=2000\)
2,a,\(\sqrt{a}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-2}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{a}+b-2\sqrt{b-1}+c-2\sqrt{c-2}=0\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{a}+1+b-1-2\sqrt{b-1}+1+c-2+2\sqrt{c-2}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-1\right)^2+\left(\sqrt{b-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{c-2}-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}}\)
b,sai đề
Xét \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow10\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow100\ge ab\)
\(T=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=20\left(a^2-ab+b^2\right)=20\left[a^2+2ab+b^2-3ab\right]=20\left(20\right)^2-6ab\)
\(T\ge20.20^2-6.100=7400\)
Câu 1 : áp dụng BĐT SVAC ta có \(A\ge\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}}=\frac{1.\sqrt{2a+2b+2c}}{\sqrt{2.}(\sqrt{b+c}+\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c})}\)
mặt khác lại có \(\frac{\sqrt{2a+2b+2c}}{\sqrt{2}.(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})}\ge\frac{\sqrt{(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})^2}}{\sqrt{2}.\sqrt{3}.(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})}=\frac{1}{\sqrt{6}}\)theo bđt svac
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{\sqrt{6}}\)dấu bằng xảy ra tại a=b=c=\(\frac{1}{3}\)
ta có:
\(A^2=\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\right)^2\le\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\right)\) (BĐT Bu-nhi-a)
=>\(A^2\le\sqrt{3}\left(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\right)\) (*)
mặt khác ta có: \(a^2+1\ge2a\) (BĐT cauchy ) =>\(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{1}{2}\)
tương tự ta có: \(\frac{b}{b^2+1}\le\frac{1}{2}\) ; \(\frac{c}{c^2+1}\le\frac{1}{2}\)
=> \(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\) (**)
từ (*),(**) => \(A^2\le\sqrt{3}.\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
=>\(A\le\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}}\)
=> GTLN của A là \(\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}}\) <=> a=b=c<\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Ta có:
\(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}}\)
\(\le\frac{\sqrt[8]{27}a}{\sqrt{4\sqrt[4]{a^2}}}=\frac{\sqrt[8]{27a^6}}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt[8]{a^6.\frac{1}{3}}\)
\(\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{6a+\frac{2}{\sqrt{3}}}{8}\left(1\right)\)
Tương tự ta cũng có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{6b+\frac{2}{\sqrt{3}}}{8}\left(2\right)\\\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{6c+\frac{2}{\sqrt{3}}}{8}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1), (2), (3)
\(\Rightarrow A\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\left(\frac{6}{8\sqrt{3}}+\frac{6}{8}\left(a+b+c\right)\right)\)
\(\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\left(\frac{3}{4\sqrt{3}}+\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
1) \(\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge8\)
\(\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}\)\(\Leftrightarrow\)\(xy=2\left(x+y\right)\ge16\)
\(A=\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt[4]{xy}\ge2\sqrt[4]{16}=4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=4\)
2) \(B=\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}\ge\sqrt{3x-5+7-3x}=\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=\frac{5}{3}\\x=\frac{7}{3}\end{cases}}\)
\(B=\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}\le\frac{3x-5+1+7-3x+1}{2}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=2\)
Để ý: \(ab+bc+ca=\frac{\left[\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\right]}{2}\).
Do đó đặt \(a^2+b^2+c^2=x>0;a+b+c=y>0\). Bài toán được viết lại thành:
Cho \(y^2+5x=24\), tìm max:
\(P=\frac{x}{y}+\frac{y^2-x}{2}=\frac{5x}{5y}+\frac{y^2-x}{2}\)
\(=\frac{24-y^2}{5y}+\frac{y^2-\frac{24-y^2}{5}}{2}\)
\(=\frac{24-y^2}{5y}+\frac{3\left(y^2-4\right)}{5}\)\(=\frac{3y^3-y^2-12y+24}{5y}\)
Đặt \(y=t\). Dễ thấy \(12=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ca\right)=3t^2-5\left(ab+bc+ca\right)\)
Và dễ dàng chứng minh \(ab+bc+ca\le3\)
Suy ra \(3t^2=12+5\left(ab+bc+ca\right)\le27\Rightarrow t\le3\). Mặt khác do a, b, c>0 do đó \(0< t\le3\).
Ta cần tìm Max P với \(P=\frac{3t^3-t^2-12t+24}{5t}\)và \(0< t\le3\)
Ta thấy khi t tăng thì P tăng. Do đó P đạt giá trị lớn nhất khi t lớn nhất.
Khi đó P = 3. Vậy...
.-.
Dễ dàng chứng minh được \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\right]\\ab=\frac{1}{4}\left[\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2\right]\end{cases}}\)
Khi đó : \(a^2+ab+b^2=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\right]+\frac{1}{4}\left[\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2\right]\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{\left(a-b\right)^2}{2}+\frac{\left(a+b\right)^2}{4}-\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\)
\(=\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}\)( vì \(\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\))
Ta có : \(\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^2+ab+b^2}}\le\frac{2}{\sqrt{3}\left(a+b\right)}\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{b^2+bc+c^2}}\le\frac{2}{\sqrt{3}\left(b+c\right)}\\\frac{1}{\sqrt{c^2+ca+c^2}}\le\frac{2}{\sqrt{3}\left(a+c\right)}\end{cases}}\)
Công theo vế của 3 bđt ta được :
\(A\le\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot2\cdot\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\)
\(=\frac{4}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\)
Đến đây ta chỉ cần tìm max \(B=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schawarz dạng engel : \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2\cdot3}=\frac{3}{2}\)
Tuy nhiên bđt trên đã bị ngược dấu :( mọi người giúp mình với ạ
Ta có a2+ab+b2=(a+b)2-ab\(\ge\left(a+b\right)^2-\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{\left(3-c\right)^2}{4}\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{a^2+ab+b^2}}\le\frac{2}{3-c}\)
Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{b^2+bc+c^2}}\le\frac{2}{3-a}\)
\(\frac{1}{\sqrt{c^2+ca+a^2}}\le\frac{2}{3-b}\)
=> \(A\le2\left(\frac{1}{3-a}+\frac{1}{3-b}+\frac{1}{3-c}\right)\)
Đến đây chứng minh <1 là xong
Dấu :"=" xảy ra khi a=b=c=1
tui mới học có lớp 6 , câu này cũng hóc búa quá , đợi tui lên lớp 9 tui giải cho
bằng 0