Question

[30.Nɠυұễɳ Tɦàɲɦ Pɦúƈ ヅ]

Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O;R) đường kính BC. Gọi H là trung điểm của AC. Tia OH cắt đường tròn (O) tại M. Từ A vẽ tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) cắt tia OM tại N.

a) C/m: OM//AB

b) C/m: CN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Giả sử góc B có số đo bằng 60°. Tính diện tích ∆ANC.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại A

=>AB\(\perp\)AC

mà OM\(\perp\)AC

nên OM//AB

b: ΔOAC cân tại O

mà OM là đường cao

nên OM là phân giác của \(\widehat{AOC}\)

Xét ΔOAN và ΔOCN có

OA=OC

\(\widehat{AON}=\widehat{CON}\)

ON chung

Do đó: ΔOAN=ΔOCN

=>\(\widehat{OAN}=\widehat{OCN}=90^0\)

=>CN là tiếp tuyến của (O)

c:

Xét (O) có

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{AOC}=2\cdot\widehat{ABC}=2\cdot60^0=120^0\)

Xét ΔBAC vuông tại A có \(sinABC=\dfrac{AC}{BC}\)

=>\(\dfrac{AC}{2R}=sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(AC=R\sqrt{3}\)

ΔOAN=ΔOCN

=>NA=NC(1)

Xét tứ giác OANC có

\(\widehat{OCN}+\widehat{OAN}=90^0+90^0=180^0\)

nên OANC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{AOC}+\widehat{ANC}=180^0\)

=>\(\widehat{ANC}=180^0-120^0=60^0\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔNAC đều

=>\(S_{NAC}=\dfrac{AC^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\left(R\sqrt{3}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\dfrac{R^2\cdot3\sqrt{3}}{4}\)