Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mk còn thiếu vế trái nữa
a2 + b2 + c2 \(\le\)2 ( ab + bc + ca )
Vì a ; b ; c là 3 cạnh của 1 tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác:
Ta có:
a\(\le\)b +c => a . a \(\le\)a.(b + c) => a2 \(\le\) ab + ac ( 1 )
b \(\le\) a + c => b . b \(\le\)b ( a + c ) => b2 \(\le\)ab + bc ( 2)
c \(\le\) a + b => c . c \(\le\) c . ( a + b ) => c2 \(\le\) ac + bc ( 3 )
Cộng với các vế ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) được:
a2+ b2 + c2 \(\le\) ab + ac + ab + bc + ac + bc
Vậy a2 + b2 + c2 \(\le\)2.( ab + bc + ca )
a2 + b2 + c2 \(\ge\) ab + bc + ca
<=> a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca \(\ge\) 0
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca \(\ge\)0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( c2 - 2ca + a2 ) \(\ge\)0
<=> ( a - b )2 + ( b - c)2 + ( c - a)2 \(\ge\) 0 ( Luôn đúng)
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có :
\(\begin{cases}a+b>c\\c+a>b\\b+c>a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}ac+bc>c^2\\ab+bc>b^2\\ab+ac>a^2\end{cases}\) \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2>2\left(ab+bc+ac\right)\)
B1:
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
Xét hiệu:
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\)
\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)
=> BĐT luôn đúng
*
Ta có:
\(a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac\)
\(b< a+c\Rightarrow b^2< ab+ac\)
\(c< a+b\Rightarrow a^2< ac+bc\)
Cộng từng vế bất đẳng thức ta được:
\(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
Vậy: \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
B2:
Ta có: \(a+b>c\) ; \(b+c>a\); \(a+c>b\)
Xét:\(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+b+a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+c+b}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{b+c+b+c}=\dfrac{1}{b+c}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+c+a+c}=\dfrac{1}{a+c}\)
Suy ra:
\(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{b+c}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+c}\)
=> ĐPCM
Bài 1 bạn viết rõ yêu cầu của đề ra nhé , mình làm bài 2.
\(a.\left(a-b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2+2ab-b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=0\)
\(\Leftrightarrow a=-b\left(đpcm\right)\)
\(b.a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)
\(c.\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3ab+3bc+3ac-2ab-2bc-2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\) ( Kết quả câu b)