Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y+z\\b=x+z\\c=x+y\end{cases}}\) suy ra x,y,z dương và cần cm
\(\left(2x+y+z\right)\left(2y+x+z\right)\left(2z+x+y\right)\)
\(\ge8Σ_{cyc}\left(y-z\right)\left(2x+y+z\right)\left(2y+x+z\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(2x^3+15x^2y-x^2z+\frac{16}{3}xyz\right)\ge0\)
Đúng theo BĐT Rearrangement
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
đặt b+c-a=x, a+c-b=y,a+b-c=z\(\Rightarrow x+y=2c,y+z=2a,x+z=2b\)
pt trở thành \(\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{y+x}{z}=\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\) \(\ge2+2+2=6\)
dau = xay ra\(\Leftrightarrow x=y=zhaya=b=c\)
\(\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{c+a-b}+\frac{2c}{b+a-c}\)
\(=\frac{2a^2}{ab+ac-a^2}+\frac{2b^2}{bc+ba-b^2}+\frac{2c^2}{cb+ca-c^2}\)
\(\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)-a^2-b^2-c^2}\)
\(\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a^2+b^2+c^2-a^2-b^2-c^2}=6\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c\)
Ta có : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)< 10\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}< 7\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b}+\frac{b+a}{c}+\frac{c+b}{a}< 7\)
Không giảm tổng quá .Giả sử a là cạnh lớn nhất .Giả b + c < a => 0 < \(\frac{b+c}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b}+\frac{b+a}{c}+\frac{c+b}{a}>\frac{2c+b}{b}+\frac{2b+c}{c}+\frac{b+c}{a}\)( không chắc lắm )
= \(\frac{2c}{b}+\frac{2b}{c}+\frac{b+c}{a}+2\)
=\(\frac{2\left(b+c\right)^2}{bc}+\frac{b+c}{a}-2>7\left(VL\right)\)
=>b+ c > a => a ; b ; c là 3 cạnh tam giác ( đpcm )
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y+z\\b=x+z\\c=x+y\end{cases}}\)
Khi đó, \(x,y,z\) dương và ta cần c/m:
\(\left(2x+y+z\right)\left(2y+x+z\right)\left(2z+x+y\right)\)
\(\ge8Σ\left(y-z\right)\left(2x+y+z\right)\left(2y+x+z\right)\)
Hay \(Σ\left(2x^3+15x^2y-x^2z+\frac{16}{3}xyz\right)\ge0\)
Nó hiển nhiên đúng vì \(x^3+y^3+z^3\ge x^2z+y^2x+z^2y\) theo BĐT Rearrangement
còn 1 cách khác hơi mạnh cần thì nhắn cho mk nhé :)