Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt a =7x , b = y, c = z. Khi đó ta có \(7xy+7yz+7zx=188\Leftrightarrow xy+yz+zx=\frac{188}{7}\)
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=245x^2+11y^2+5z^2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy -Schwart dạng cộng mẫu số, ta có:
\(252x^2+18y^2+12z^2=\frac{x^2}{\frac{1}{252}}+\frac{y^2}{\frac{1}{18}}+\frac{z^2}{\frac{1}{12}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{1}{252}+\frac{1}{18}+\frac{1}{12}}=7\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow252x^2+18y^2+12z^2\ge7\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\right)\)
\(245x^2+11y^2+5z^2\ge14\left(xy+yz+zx\right)=376\)
Đến đây em làm đc r nhé ^^
Ta có: 2P=(a2+b2) + (b2+c2) + (c2+a2)
Theo Cauchy có:
\(2P\ge2ab+2bc+2ca=2\left(ab+bc+ca\right)=2.9\)
=> \(P\ge9\)=> Pmin = 9 đạt được khi x=y=\(\sqrt{3}\)
Hoặc:
P2= (a2+b2+c2)(b2+c2+a2)
Theo Bunhiacopxki có:
P2= (a2+b2+c2)(b2+c2+a2) \(\ge\)(ab+bc+ca)2=92
=> P\(\ge\)9 => Pmin=9
Vì \(a\ge1,b\ge1,c\ge1\)(gt) => \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)<=> ab -a -b + 1 \(\ge0\)(1)
\(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\)<=> bc - b - c + 1 \(\ge0\)(2)
\(\left(c-1\right)\left(a-1\right)\ge0\)<=> ca -c - a + 1 \(\ge0\)(3)
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta được:
ab + bc + ca -2(a +b +c) + 3 \(\ge0\)
=> \(a+b+c\le\frac{ab+bc+ca+3}{2}=\frac{9+3}{2}=6\)
Mà \(a\ge1,b\ge1,c\ge1\Rightarrow a+b+c\ge3\)=> \(3\le a+b+c\le6\)=> \(\left(a+b+c\right)^2\le36\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\le36\)
=> \(a^2+b^2+c^2\le36-2\left(ab+bc+ca\right)=36-2\times9=18\)=> P \(\le18\)
Vậy GTLN của P là 18
Dâu "=" xảy ra khivà chỉ khi:
a =b=1, c=4
hoặc: b=c=1, a=4
hoặc: c=a=1, b=4
Thấy:\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=9\Leftrightarrow a=b=c\Rightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
Tìm maximize: trước tiên điểm rơi của nó sẽ là (1;1;4) và các hoán vị ( dự đoán)
ta sẽ chứng minh \(P\le18\)
từ giả thiết: \(a,b,c\ge1\)nên \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)
tương tự:\(bc+1\ge b+c\);\(ca+1\ge c+a\)
cộng theo vế: \(ab+bc+ca+3\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\le6\)
mà \(P=a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b+c\right)^2-18\le36-18=18\)(ĐPCM)
Dấu = xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(1;1;4\right)\)và các hoán vị
- \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b+c\right)^2-6.\)
- \(P=\left(a+b+c\right)^2-6-6\left(a+b+c\right)+2017=\left(a+b+c\right)^2-6\left(a+b+c\right)+9+2002\)
\(=\left(a+b+c-3\right)^2+2002\)
- Mà \(\left(a+b+c-3\right)^2\ge0\)nên GTNN của P bằng 2002.
Sử dụng giả thiết ax−by=√3ax−by=3 ta có:
(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ax−by)2=(ax+by)2+3(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ax−by)2=(ax+by)2+3
Áp dụng bất đẳng thức CauchyCauchy , suy ra:
a2+b2=x2+y2=(a2+b2)+(x2+y2)≥2√(a2+b2)(x2+y2)=2√(ax+by)2+3a2+b2=x2+y2=(a2+b2)+(x2+y2)≥2(a2+b2)(x2+y2)=2(ax+by)2+3
Do đó, ta đưa về bài toán tìm GTNN của: 2√x2+3+x2x2+3+x trong đó x=ax+byx=ax+by
Ta có:
(2√x2+3+x)2=4(x2+3)+4x√x2+3+x2=(x2+3)+4x√x2+3+4x2+9=(√x2+3+2x)2+9≥9(2x2+3+x)2=4(x2+3)+4xx2+3+x2=(x2+3)+4xx2+3+4x2+9=(x2+3+2x)2+9≥9
⇒2√x2+3+x≥3⇒2x2+3+x≥3
Vậy MinT=3MinT=3
Sử dụng giả thiết ax−by=√3ax−by=3 ta có:
(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ax−by)2=(ax+by)2+3(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ax−by)2=(ax+by)2+3
Áp dụng bất đẳng thức CauchyCauchy , suy ra:
a2+b2=x2+y2=(a2+b2)+(x2+y2)≥2√(a2+b2)(x2+y2)=2√(ax+by)2+3a2+b2=x2+y2=(a2+b2)+(x2+y2)≥2(a2+b2)(x2+y2)=2(ax+by)2+3
Do đó, ta đưa về bài toán tìm GTNN của: 2√x2+3+x2x2+3+x trong đó x=ax+byx=ax+by
Ta có:
(2√x2+3+x)2=4(x2+3)+4x√x2+3+x2=(x2+3)+4x√x2+3+4x2+9=(√x2+3+2x)2+9≥9(2x2+3+x)2=4(x2+3)+4xx2+3+x2=(x2+3)+4xx2+3+4x2+9=(x2+3+2x)2+9≥9
⇒2√x2+3+x≥3⇒2x2+3+x≥3
Vậy MinT=3MinT=3