Question

[Minh Nguyễn Cao]

Cho a,b,c là các số thực dương và abc = 1

CMR: \(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{c}\right)^2+\left(c+\frac{1}{a}\right)^2\ge3\left(a+b+c+1\right)\)

Answer 1

[Hoàng Đức Khải]

Ta có \(VT=a^2+b^2+c^2+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

  \(\Leftrightarrow VT=a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\) (Vì abc=1)

ÁP dụng bđt Cô-si cho 3 số dương, ta có:\(a^2+\frac{1}{b^2}+ab^2\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3b^2}{b^2}}=3a\)

\(b^2+\frac{1}{c^2}+bc^2\ge3b\)            \(c^2+\frac{1}{a^2}+ca^2\ge3c\)

\(\Rightarrow VT\ge3\left(a+b+c\right)+\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\ge3\left(a+b+c\right)+3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3\left(a+b+c+1\right)\)     Vì abc=1. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1