Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
doan thi khanh linh câm cái mồm đi.đã ngu lại còn thích k
áp dụng co si ta có:
\(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}+\frac{2\sqrt{ca}}{\sqrt{b}}+\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}\)
\(=\left(\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{ca}}{\sqrt{b}}\right)+\left(\frac{\sqrt{ca}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}\right)+\left(\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}\right)\)
\(\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
\(\Rightarrow Q.E.D\)
Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập springtime ấy
\(a^2\sqrt{a}+b^2\sqrt{b}+c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)
\(=\left(a^2\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)+\left(b^2\sqrt{b}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)+\left(c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\)
\(\ge2a+2b+2c\ge6\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=6\)
Đặt \(m=a^2+b^2+c^2,m\ge0\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có :
\(\frac{9}{4}=\left(a.\sqrt{1-b^2}+b.\sqrt{1-c^2}+c.\sqrt{1-a^2}\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(3-a^2-b^2-c^2\right)\)
\(\Rightarrow m\left(3-m\right)\ge\frac{9}{4}\) \(\Leftrightarrow\left(m-\frac{3}{2}\right)^2\le0\) mà ta luôn có \(\left(m-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)
Do đó \(\left(m-\frac{3}{2}\right)^2=0\Rightarrow m=\frac{3}{2}\)
Vậy \(a^2+b^2+c^2=\frac{3}{2}\)
Bài 2 xét x=0 => A =0
xét x>0 thì \(A=\frac{1}{x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}}\)
để A nguyên thì \(x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\inƯ\left(1\right)\)
=>cho \(x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\)bằng 1 và -1 rồi giải ra =>x=?
1,Ta có \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)
=> \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=2\)
\(a+2=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
\(b+2=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)\)
\(c+2=\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\)
=> \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}+\frac{\sqrt{b}}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}+...\)
=> \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+...=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
=> M=0
Vậy M=0
Đặt \(x=a^2+b^2+c^2\), cần chứng minh \(x=\frac{3}{2}\)
Từ giả thiết \(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}+c\sqrt{1-a^2}=\frac{3}{2}\) , áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có :
\(\left(\frac{3}{2}\right)^2=\left(a.\sqrt{1-b^2}+b.\sqrt{1-c^2}+c.\sqrt{1-a^2}\right)^2\)
\(\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left[3-a^2-b^2-c^2\right]\)
\(\Rightarrow x\left(3-x\right)\ge\frac{9}{4}\Leftrightarrow x^2-3x+\frac{9}{4}\le0\Leftrightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\le0\)(1)
Mà ta luôn có \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)
Vậy \(a^2+b^2+c^2=\frac{3}{2}\)(đpcm)
\(a\sqrt{1-b^2}\le\frac{1}{2}\left(a^2+1-b^2\right)\)
Tương tự và cộng lại: \(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}\le\frac{3}{2}\)
Do dấu "=" xảy ra \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=1-b^2\\b^2=1-c^2\\c^2=1-a^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=1\\b^2+c^2=1\\c^2+a^2=1\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=3\)
đặt \(A=a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)
\(2A=2a\sqrt{b^3+1}+2b\sqrt{c^3+1}+2c\sqrt{a^3+1}\)
\(2A=2a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}+2b\sqrt{\left(c+1\right)\left(c^2-c+1\right)}+2c\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\)
\(\le2a.\frac{b+1+b^2-b+1}{2}+2b.\frac{c+1+c^2-c+1}{2}+2c.\frac{a+1+a^2-a+1}{2}\)
\(=a\left(b^2+2\right)+b\left(c^2+2\right)+c\left(a^2+2\right)=ab^2+bc^2+ca^2+2\left(a+b+c\right)=ab^2+bc^2+ca^2+6\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\le b\le c\), ta có :
\(a\left(c-b\right)\left(b-a\right)\ge0\Leftrightarrow abc+a^2b\ge ab^2+a^2c\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+bc^2\le abc+a^2b+bc^2\le2abc+a^2b+bc^2=b\left(a+c\right)^2\)
Mặt khác, theo BĐT Cô-si cho 3 số dương :
\(b\left(a+c\right)^2=4b.\frac{a+c}{2}.\frac{a+c}{2}\le\frac{4}{27}\left(b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}\right)^3=\frac{4}{27}.\left(a+b+c\right)^3=4\)
\(\Rightarrow2A\le10\Rightarrow A\le5\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\le b\le c;a+b+c=3\\abc=2abc\\2b=a+c\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=1\\c=2\end{cases}}}\)
cho mình sửa lại là cái đoạn giả sử \(a\le b\le c\)
mình sẽ giả sử \(\orbr{\begin{cases}a\ge c\ge b\\b\ge c\ge a\end{cases}}\) \(\Rightarrow b\left(a-c\right)\left(c-b\right)\ge0\)( cả 2 Th )
rồi giải ra tương tự như dưới ấy là được