Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2:
Ta cóB=\(\frac{8}{a^3b^3c^3}\)
Áp dụng BĐT cô-si, ta có
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow3\sqrt[3]{abc}\le6\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\le2\Rightarrow abc\le8\Rightarrow a^3b^3c^3\le512\)
=>\(\frac{8}{a^3b^3c^3}\ge\frac{8}{512}=\frac{1}{64}\)
dấu = xảy ra <=>a=b=c=2
^_^
Bài 1:,
Đặt ..=A
Ta có \(A=\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}+\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}{a+c}\)
Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\) =>x+y+z=2
Ta có A=\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\)
Áp dụng BĐT cô-si, ta có \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy^2z}{zx}}=2y\)
Tương tự thì 2A\(\ge2\left(x+y+z\right)=4\Rightarrow A\ge2\left(ĐPCM\right)\)
Dấu = xảy ra <=>a=b=c=1/3
^_^
Bài 1. Từ giả thiết suy ra 1-a = b+c và áp dụng \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
Ta có : \(4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=4\left(b+c\right)\left(1-c\right)\left(1-b\right)\le\left[\left(b+c\right)+\left(1-c\right)\right]^2\left(1-b\right)\)
\(=\left(b+1\right)^2\left(1-b\right)=\left(b+1\right)\left(1-b^2\right)=-b^2\left(b+1\right)+\left(b+1\right)\le b+1=a+2b+c\)
a)Áp dụng Bđt cô si, ta có:
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng 3 vế của bđt lại ta có:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}=a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\ge\frac{3}{2}\)
dấu = khi a=b=c=1
câu a,mình ko biết nhưng câu b bạn cộng 1+b cho số hạng đầu áp dụng cô si,các số hạng khác tương tự rồi cộng vế theo vế,ta có điều phải c/m
Chắc chắn là \(a^2+b^2+c^2=3\) rồi, thử \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\) là rõ
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+ab+bc+ca}\)
Ta có BĐT cơ bản \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+ab+bc+ca}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+a^2+b^2+c^2}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(x,y,z\ge1\)nên ta có bổ đề: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
ÁP dụng: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt[3]{xyz^4}}}\)
\(\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu = xảy ra \(x=y=z\)hoặc x=y,xz=1 và các hoán vị
trc giờ mấy bài này tui toàn quy đồng thôi, may có cách này =))
Bn thiếu đề nhé : \(DK:abc=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}.\frac{1+b}{8}.\frac{1+c}{8}}=\frac{3}{4}a\)
Tương tự \(\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{1+c}{8}+\frac{1+a}{8}\ge\frac{3}{4}b\)
Và .\(\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{1+a}{8}+\frac{1+b}{8}\ge\frac{3}{4}c\)
Cộng vế với vế của các bđt trên ta được :
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\frac{c^3}{\left(1+b\right)\left(1+a\right)}+\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\frac{c^3}{\left(1+b\right)\left(1+a\right)}\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}\)
\(\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\) (ĐPCM)
\(a\ge b\ge c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ge1\\c\le1\end{matrix}\right.\)
a/ \(ac+1\le a+c\Leftrightarrow ac-a+1-c\le0\)
\(\Leftrightarrow a\left(c-1\right)-\left(c-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(c-1\right)\le0\) luôn đúng với \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge1\\c\le1\end{matrix}\right.\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}a=1\\c=1\end{matrix}\right.\)
b/ \(P=\frac{1}{ac+1}+\frac{1}{b+c}\ge\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\ge\frac{4}{a+b+c+c}=\frac{4}{c+3}\ge\frac{4}{1+3}=1\)
\(P_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)