Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(T=x^4+y^4+z^4\)
áp dụng bđt bunhia cốp -xki với bộ số \(\left(x^2,y^2,z^2\right);\left(1,1,1\right)\)
\(\left(\left[x^2\right]^2+\left[y^2\right]^2+\left[z^2\right]^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
\(\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)
\(\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge\frac{\left(2xy+2yz+2xz\right)^2}{3}\)(bđt tương đương)
\(\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge\frac{4}{3}\)
dấu "=" xảy rakhi và chỉ khi
\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{1}=\frac{y^2}{1}=\frac{z^2}{1}\\x=y=z=1\end{cases}< =>\frac{1^2}{1}=\frac{1^2}{1}=\frac{1^2}{1}}\)(luôn đúng)
vậy dấu "=" có xảy ra
\(< =>MIN:T=\frac{4}{3}\)
sửa dòng 3 dưới lên
\(T\ge\frac{\left(xy+yz+xz\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Vậy GTNN T là 1/3 khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Ta có: P= \(2a+3b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}\) = \(\text{}\text{}(\dfrac{1}{a}+a)+\left(\dfrac{4}{b}+b\right)+\left(a+2b\right)\)
Ta thấy: \(\text{}\text{}(\dfrac{1}{a}+a)\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}\cdot a}=2\)
\(\text{}\text{}\left(\dfrac{4}{b}+b\right)\ge2\sqrt{\dfrac{4}{b}\cdot b}=4\)
Do đó: P \(\ge2+4+8=14\)
Vậy: P(min)=14 khi: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}=a\\\dfrac{4}{b}=b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right..\)
Bài làm
\(P=2a+3b+\frac{4}{a}+\frac{9}{b}=a+a+2b+b+\frac{4}{a}+\frac{9}{b}\)
\(=\left(a+2b\right)+\left(a+\frac{4}{a}\right)+\left(b+\frac{9}{b}\right)\)
\(\ge8+2\sqrt{a\times\frac{4}{a}}+2\sqrt{b\times\frac{9}{b}}\)( Cauchy )
\(=8+4+6=18\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2 ; b = 3
=> MinP = 18 <=> a = 2 ; b = 3
\(P=2a+3b+\frac{4}{a}+\frac{9}{b}\)
\(\Leftrightarrow P=\left(a+\frac{4}{a}\right)+\left(b+\frac{9}{b}\right)+a+2b\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(P\ge2.\sqrt{a.\frac{4}{a}}+2.\sqrt{b.\frac{9}{b}}+a+2b=2.2+2.3+a+2b\ge4+6+8=18\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{4}{a}\\b=\frac{9}{b}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=3\end{cases}}\)
Vậy \(P_{min}=18\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=3\end{cases}}\)
12. Ta có \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)
=> \(a^2-ab+3b^2+1\ge\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\)
Lại có \(\left(\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+1\right)\ge\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}b+1\right)^2\)
=> \(\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}\ge\frac{a}{4}+\frac{5b}{4}+\frac{1}{2}\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{4}{a+b+b+b+b+b+1+1}\le\frac{4}{64}.\left(\frac{1}{a}+\frac{5}{b}+2\right)\)
Khi đó
\(P\le\frac{1}{16}\left(6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+6\right)\le\frac{3}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Vậy \(MaxP=\frac{3}{2}\)khi a=b=c=1
13. Ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\le1\)
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)( BĐT cosi)
=> \(1\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)
=> \(a+b+c\ge6\)
Ta có \(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
=> \(\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự \(\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\),,\(\frac{c^3-a^2}{c^2+ac+a^2}=c-a\)
Cộng 3 BT trên ta có
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+c^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{c^2+bc+b^2}+\frac{a^3}{a^2+ac+c^2}\)
Khi đó \(2P=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+...\)
=> \(2P=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}+....\)
Xét \(\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\)
<=> \(3\left(a^2-ab+b^2\right)\ge a^2+ab+b^2\)
<=> \(a^2+b^2\ge2ab\)(luôn đúng )
=> \(2P\ge\frac{1}{3}\left(a+b+b+c+a+c\right)=\frac{2}{3}.\left(a+b+c\right)\ge4\)
=> \(P\ge2\)
Vậy \(MinP=2\)khi a=b=c=2
Lưu ý : Chỗ .... là tương tự