Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
Chú ý đến giả thiết a + b + c = 1 ta viết được \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(1-c\right)\left(1+c\right)}}=\)\(\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{1-c^2}}=\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{\left(a+b+c\right)^2-c^2}}\)\(=\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)}}\)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được \(a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge2ab+2\left(ab+bc+ca\right)=\)\(2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)\)và \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Từ đó dẫn đến \(\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)}}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab}\sqrt{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\)\(=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\)
Mà theo bất đẳng thức quen thuộc \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\le\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)}+\frac{ab}{2\left(ab+ca\right)}\right)}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{ab}{ab+bc}+\frac{ab}{ab+ca}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}\)
Từ đó ta có bất đẳng thức: \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}\)(1)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{bc}{\sqrt{\left(1-a\right)^3\left(1+a\right)}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}\)(2) ; \(\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\)(3)
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được: \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(1-a\right)^3\left(1+c\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\)\(\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\right)\)
Ta cần chứng minh\(\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\right)\le\frac{3\sqrt{2}}{8}\)
Hay \(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\le3\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\)
\(\le\sqrt{3\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}\right)}=3\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Sửa đề: \(\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\)
Áp dụng giả thiết và một đánh giá quen thuộc, ta được: \(16\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{ab+bc+ca}\)hay \(\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\le\frac{8}{9}\)
Đến đây, ta cần chứng minh \(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}=a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}}\)hay \(\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3\ge\frac{27\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+b+2\sqrt{a+c}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(\frac{1}{\left(b+c+2\sqrt{b+a}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\); \(\frac{1}{\left(c+a+2\sqrt{c+b}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được \(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được \(\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\)
Đây là một đánh giá đúng, thật vậy: đặt a + b + c = p; ab + bc + ca = q; abc = r thì bất đẳng thức trên trở thành \(pq-r\ge\frac{8}{9}pq\Leftrightarrow\frac{1}{9}pq\ge r\)*đúng vì \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\); \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\))
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{4}\)
Áp dụng BĐT Mincopski ta có:
\(VT=\sqrt{a^2+\left(1-b\right)^2}+\sqrt{b^2+\left(1-c\right)^2}+\sqrt{c^2+\left(1-b\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(3-a-b-c\right)^2}\)
Đặt \(a+b+c=x>0\) thì ta có:
\(\ge\sqrt{x^2+\left(3-x\right)^2}=\sqrt{2x^2-6x+9}\)
\(=\sqrt{2\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{2}}\ge\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)