Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)
Trước hết ta chứng minh \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\dfrac{a+b+c}{2}\)\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\). Ta lại có:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Thiết lập các BĐT tương tự:
\(\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c};\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\ge2\)
Dấu "=" không xảy ra nên ta có ĐPCM
Lưu ý: lần sau đăng từng bài 1 thôi nhé !
1) Áp dụng liên tiếp bđt \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với a;b là 2 số dương ta có:
\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\dfrac{\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}}{4}\)\(\le\dfrac{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}{16}\)
TT: \(\dfrac{1}{a+2b+c}\le\dfrac{\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}}{16}\)
\(\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{16}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=1\left(đpcm\right)\)
a) CM:\(\sqrt{\left(n+1\right)^2}+\sqrt{n^2}=\left(n+1\right)^2-n^2\)
\(\Leftrightarrow n+1+n=\left(n+1-n\right)\left(n+1+n\right)\)
\(\Leftrightarrow2n+1=1\left(2n+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2n+1=2n+1\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(n+1\right)^2}+\sqrt{n^2}=\left(n+1\right)^2-n^2\)
Câu b) ý 2:
Áp dụng BĐT cô si ta có :
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\\ \dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\\ \dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\\ \Leftrightarrow2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\ge2\left(\sqrt{\dfrac{a}{c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}\right)\\ \Rightarrowđpcm\)
từ giả thiết ,ta có:\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=4\)\(\Leftrightarrow a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=1\)---> thay 1= vào ...
Lời giải:
Đặt \(\left ( \sqrt{\frac{a}{b+c}},\sqrt{\frac{b}{a+c}},\sqrt{\frac{c}{a+b}} \right )=(x,y,z)\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\frac{a}{b+c}\\ y^2=\frac{b}{a+c}\\ z^2=\frac{c}{a+b}\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}=2\)
\(\Leftrightarrow (1-\frac{1}{x^2+1})+(1-\frac{1}{y^2+1})+(1-\frac{1}{z^2+1})=1\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2}{x^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}+\frac{z^2}{z^2+1}=1\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2(x+y+z)(\star)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left ( \frac{x^2}{x^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}+\frac{z^2}{z^2+1} \right )(x^2+1+y^2+1+z^2+1)\geq (x+y+z)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+1+y^2+1+z^2+1\geq (x+y+z)^2\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+xz\leq \frac{3}{2}\)
Kết hợp với hệ quả của BĐT AM-GM :
\((xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz\geq \frac{3xyz(x+y+z)}{xy+yz+xz}\geq \frac{3xyz(x+y+z)}{\frac{3}2{}}=2xyz(x+y+z)\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{2xyz(x+y+z)}{xyz}=2(x+y+z)\)
Do đó BĐT \((\star)\) được chứng minh.
Bài toán hoàn thành. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
Lần sau ghi dấu ra xíu nhé :v
a) Đặt \(\sqrt{x}=a\Rightarrow B=\left(\dfrac{a}{a+4}+\dfrac{4}{a-4}\right):\dfrac{a^2+16}{a+2}\)
Quy đồng,rút gọn : \(B=\dfrac{a+2}{a^2-16}\Rightarrow B=\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-16}\)
b) \(B\left(A-1\right)=\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-16}\left(\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}-1\right)=\dfrac{2}{x-16}\)
x - 16 là ước của 2 => \(x\in\left\{14;15;17;18\right\}\)
mới làm quen toán 9 ;v có gì k rõ ae chỉ bảo nhé :))
2, a, \(a+\dfrac{1}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+1}{a}\ge2\)
\(\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\left(a>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\)( là đt đúng vs mọi a)
vậy...................
Câu 1:
\(M=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-20-10\sqrt{3}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{\left(5-\sqrt{3}\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+25-5\sqrt{3}}}\)
\(=\sqrt{4+5}=3\)
\(M=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{5}+1}=\sqrt{6-\sqrt{5}}\)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}=1\)
\(\Rightarrow a+1=a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
Tương tự: \(b+1=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(c+1=\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(VT=\sum\dfrac{\sqrt{a}}{a+1}=\sum\dfrac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)+\sqrt{c}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}\)
\(=\dfrac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\dfrac{2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}\)
\(VP=\dfrac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}=\dfrac{2}{\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^2\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}}\)
\(=\dfrac{2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}\)
\(\Rightarrow VT=VP\) (đpcm)
Với a, b, c là các số nguyên dương
=> a + b > 0 ; b + c > 0 ; c + a > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a + b và c không âm, ta có:
\(\left(a+b\right)+c\ge2\sqrt[]{\left(a+b\right)c}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt[]{\left(a+b\right)c}}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt{c}\sqrt[]{\left(a+b\right)c}}{\sqrt[]{c}\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2c\sqrt[]{a+b}}{\sqrt[]{c}\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt[]{c}\left(a+b+c\right)\ge2c\sqrt[]{a+b}\)
\(\Rightarrow\sqrt[]{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\) (1)
Chứng minh tương tự \(\Rightarrow\sqrt[]{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\) (2) ;\(\sqrt[]{\dfrac{b}{a+c}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c}\) (3)
Cộng hai vế của (1), (2), (3), ta được:
\(\sqrt[]{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt[]{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt[]{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=2\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=c\\a+c=b\\b+c=a\end{matrix}\right.\)
Kết hợp với điều kiện a, b, c là các số nguyên dương => Không thể xảy ra dấu " = "
=> ĐPCM
a,b,c >0 nua nhe