Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có \(a+b+c+\sqrt{abc}=4\Rightarrow4a+4b+4a+4\sqrt{abc}\)
=> \(4a+4\sqrt{abc}=16-4b-4c\Leftrightarrow4a+4\sqrt{abc}+bc=16-4b-4c+bc\)
=> \(\left(2\sqrt{a}+\sqrt{bc}\right)^2=\left(4-b\right)\left(4-c\right)\Rightarrow a\left(4-b\right)\left(4-c\right)=a\left(2\sqrt{a}+\sqrt{bc}\right)^2\)
=> \(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}=\sqrt{a}\left(2\sqrt{a}+\sqrt{bc}\right)=2a+\sqrt{abc}\)
tương tự như thế thay vào , thì A=8
Ta có:
\(a+b+c+\sqrt{abc}=4\Rightarrow4a+4b+4c+4\sqrt{abc}\)
\(\Rightarrow4a+4\sqrt{abc}=16-4b-4c\Leftrightarrow4a+4\sqrt{abc}+bc=16-4b-4c+bc\)
\(\Rightarrow\left(2\sqrt{a}+\sqrt{bc}\right)^2=\left(4-b\right)\left(4-c\right)\Rightarrow a\left(4-b\right)\left(4-c\right)=a\left(2\sqrt{a}+\sqrt{bc}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}=\sqrt{a}\left(2\sqrt{a}+\sqrt{bc}\right)=2a+\sqrt{abc}\)
Tương tự như thế thay vào, thì A = 8
Áp dụng giả thiết và một đánh giá quen thuộc, ta được: \(16\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{ab+bc+ca}\)hay \(\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\le\frac{8}{9}\)
Đến đây, ta cần chứng minh \(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}=a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}}\)hay \(\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3\ge\frac{27\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+b+2\sqrt{a+c}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(\frac{1}{\left(b+c+2\sqrt{b+a}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\); \(\frac{1}{\left(c+a+2\sqrt{c+b}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được \(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được \(\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\)
Đây là một đánh giá đúng, thật vậy: đặt a + b + c = p; ab + bc + ca = q; abc = r thì bất đẳng thức trên trở thành \(pq-r\ge\frac{8}{9}pq\Leftrightarrow\frac{1}{9}pq\ge r\)*đúng vì \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\); \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\))
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{4}\)
\(K\le\Sigma\sqrt{12a+\left(b+c\right)^2}=\Sigma\sqrt{12a+\left(3-a\right)^2}=\Sigma\sqrt{\left(a+3\right)^2}=12\)
dấu "=" xảy ra khi \(a=b=0;c=3\) và các hoán vị
Ta có:
\(a+b+c+\sqrt{abc}=4\)
\(\Leftrightarrow4a+4b+4c+4\sqrt{abc}=16\)
Ta lại có:
a(4 - b)(4 - c) = a(16 - 4b - 4c + bc) = a(4a + bc + \(4\sqrt{abc}\))
= (4a2 + \(4a\sqrt{abc}\)+ abc)
= (\(2a+\sqrt{abc}\))2
Tương tự ta có
b(4 - c)(4 - a) = (\(2b+\sqrt{abc}\))2
c(4 - a)(4 - b) = (\(2c+\sqrt{abc}\))2
Từ đây ta có
\(A= 2a+2b+2c+3\sqrt{abc}-\sqrt{abc}\)
\(=8\)
Nhầm
\(a+b+c-\sqrt{abc}=4\)
Thành
\(a+b+c+\sqrt{abc}=4\)
Mà thôi cũng làm tương tự thôi nên bạn tự làm lại nhé
\(a+b+c+\sqrt{abc}=4\Rightarrow4a+4b+4c+4\sqrt{abc}=16\Rightarrow16-4b-4c=4a+4\sqrt{abc}\)
\(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}=\sqrt{a\left(16-4b-4c+bc\right)}=\sqrt{a\left(4a+4\sqrt{abc}+bc\right)}\)
\(=\sqrt{4a^2+4a\sqrt{abc}+abc}=\sqrt{\left(2a+\sqrt{abc}\right)^2}=2a+\sqrt{abc}\)
Tương tự : \(\sqrt{b\left(4-a\right)\left(4-c\right)}=2b+\sqrt{abc}\); \(\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}=2c+\sqrt{abc}\)
\(\Rightarrow A=2a+2b+2c+3\sqrt{abc}-\sqrt{abc}=2\left(a+b+c+\sqrt{abc}\right)=8\)
Cô-si : \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\le\frac{a+b+b+c}{2}=\frac{a+2b+c}{2}\)
Ta sẽ chứng minh \(VT\le6=\Sigma_{cyc}\frac{a+2b+c}{2}\) . Ta có:
\(VP-VT=\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(\sqrt{c+a}+\sqrt{b+c}\right)^2}\ge0\)
Từ đó..