Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
EM tham khảo phần đầu ở link: Câu hỏi của Đinh Nguyến Nhật Minh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Trong 3 số a,b, c có hai số đối nhau g/s 2 số đó là a và b kho đó a=-b
=> \(\frac{1}{a^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{\left(-b\right)^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=-\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{c^{2019}}\)
và \(\frac{1}{a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{\left(-b\right)^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{-b^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{c^{2019}}\)
Do đó: \(\frac{1}{a^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}\)
\(a^{2019}+a^{2019}+1+1+...+1\ge2019a^2\) (2017 số 1)
\(\Leftrightarrow2a^{2019}+2017\ge2019a^2\)
Tương tự: \(2b^{2019}+2017\ge2019b^2\) ; \(2c^{2019}+2017\ge2019c^2\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}\right)+2017.3\ge2019\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}\ge\frac{2019\left(a^2+b^2+c^2\right)-2017.3}{2}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\) hinh nhu theo co dieu kien a,b,c ko dong thoi = 0
<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)
<=> \(\frac{a+b}{ab}=\frac{c-a-b-c}{c\left(a+b+c\right)}\)
<=> \(\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2\right)=-ab\left(a+b\right)\)
<=> \(\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2\right)+ab\left(a+b\right)=0\)
<=> \(\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2+ab\right)=0\)
<=> \(\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\)
<=> a+b=0 hoac a+c=0 hoac b+c=0
do khi luy thua a,b,c len cach so mu le la 27,41,2019 thi a,b,c ko doi dau nen \(a^{27}+b^{27}=0.hoac.b^{41}+c^{41}=0.hoac.c^{2019}+a^{2019}=0\)
P = 0
Vay P = 0
Study well
Ta có : \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{a}\Rightarrow\frac{b+c}{bc}=\frac{a-a-b-c}{a^2+ab+ac}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b+c}{bc}=\frac{-b-c}{a^2+ab+ac}\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(a^2+ab+ac\right)=-\left(b+c\right)bc\)
\(\left(b+c\right)\left(a^2+ab+ac\right)+\left(b+c\right)bc=0\)
\(\Rightarrow\left(b+c\right)\left(a^2+ab+ac+bc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)[\left(a+b\right)a+c\left(a+b\right)]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(a+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=-c\\\orbr{\begin{cases}a=-b\\c=-a\end{cases}}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b^{41}+c^{41}=0\\\orbr{\begin{cases}a^{27}+b^{27}=0\\c^{2019}+a^{2019}=0\end{cases}}\end{cases}}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=-c\\\orbr{\begin{cases}a=-b\\c=-a\end{cases}}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b^{41}+c^{41}=0\\\orbr{\begin{cases}a^{27}+b^{27}=0\\a^{2019}+c^{2019}=0\end{cases}}\end{cases}}}\)
Ta có
\(\sum\dfrac{a}{a+\sqrt{2019a+bc}}=\sum\dfrac{a}{a+\sqrt{a^2+a\left(b+c\right)+bc}}\)
Áp dụng AM - GM : \(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(\Rightarrow\sum\dfrac{a}{a+\sqrt{a^2+a\left(b+c\right)+bc}}\le\dfrac{a}{a+\sqrt{a^2+2a\sqrt{bc}+bc}}\)
\(=\sum\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(a+\sqrt{bc}\right)^2}}=\sum\dfrac{a}{a+a+\sqrt{bc}}\)
Tự làm tiếp
*Biết là muộn rồi nhưng vẫn cứ gửi lời giải ra đây vậy*
Từ giả thiết suy ra \(2019=\frac{1}{a+b+c}\)
⇒ \(ab+bc+ca=\frac{abc}{a+b+c}\)⇒ \(\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=abc\)
⇒ \(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc=0\)
⇒ \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
⇒ Trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Không mất tính tổng quát giả sử đó là a và b
⇒ \(c=\frac{1}{2019}\)
⇒ \(A=\frac{1}{2019^{2019}}\)
Ta thấy : \(a+b+c=1\Rightarrow a,b,c< 1\)
Lại có : \(a+b+c=a^3+b^3+c^3\)
\(\Rightarrow a+b+c-a^3-b^3-c^3=0\)
\(\Rightarrow a.\left(1-a^2\right)+b.\left(1-b^2\right)+c.\left(1-c^2\right)=0\) (*)
Do : \(a,b,c< 1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-a^2>0\\1-b^2>0\\1-c^2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a.\left(1-a^2\right)\ge0\\b.\left(1-b^2\right)\ge0\\c.\left(1-c^2\right)\ge0\end{matrix}\right.\) mà (*) nên ta có :\(\left\{{}\begin{matrix}a.\left(1-a^2\right)=0\\b.\left(1-b^2\right)=0\\c.\left(1-c^2\right)=0\end{matrix}\right.\)
Theo bài có \(a+b+c=a^3+b^3+c^3\)
nên : \(\left(a,b,c\right)\in\left\{\left(1,0,0\right),\left(0,1,0\right),\left(0,0,1\right)\right\}\)
Trong cả ba trường hợp trên thì \(M=1\)
Vậy : \(M=1\) với \(a,b,c\) thỏa mãn đề.
hay