Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{matrix}\right.\)
Vì a, b, c là các số dương \(\Rightarrow a=b=c=0\) ( loại )
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\) ( tự chứng minh )
\(\Rightarrow M=\left(\dfrac{a}{b}-1\right)+\left(\dfrac{b}{c}-1\right)+\left(\dfrac{c}{a}-1\right)=0\)
Vậy M = 0
chịu khó nhì̀̀ nhább
Lời giải:
Đặt biểu thức vế trái là A
Có \(a+\frac{1}{a+1}=\frac{a^2+a+1}{a+1}=\frac{a^2}{a+1}+1=\frac{a^2}{a+1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(a+\frac{1}{a+1}\geq \frac{(a+1+1)^2}{a+1+2+2}=\frac{(a+2)^2}{a+5}\)
Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và nhân theo vế:
\(\Rightarrow A\geq \frac{(a+2)^2(b+2)^2(c+2)^2}{(a+5)(b+5)(c+5)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((a+2)(b+2)(c+2)\geq 3\sqrt[3]{a}.3\sqrt[3]{b}.3\sqrt[3]{c}=27\sqrt[3]{abc}\geq 27\)
\(\Rightarrow A\geq \frac{27(a+2)(b+2)(c+2)}{(a+5)(b+5)(c+5)}\) (1)
Ta sẽ cm
\(\frac{27(a+2)(b+2)(c+2)}{(a+5)(b+5)(c+5)}\geq \frac{27}{8}(*)\Leftrightarrow 8(a+2)(b+2)(c+2)\geq (a+5)(b+5)(c+5)\)
\(\Leftrightarrow 8[abc+8+2(ab+bc+ac)+4(a+b+c)]\geq abc+125+5(ab+bc+ac)+25(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow 7abc+11(ab+bc+ac)+7(a+b+c)\geq 61\)
BĐT trên luôn đúng theo AM_GM:
\(7abc+11(ab+bc+ac)+7(a+b+c)\geq 7abc+33\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+21\sqrt[3]{abc}\geq 7+33+21=61\)
Do đó (*) đúng.
Từ \((1);(2)\Rightarrow A\geq \frac{27}{8}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
2) Ta có : \(\left|x-1\right|+\left|1-x\right|=2\) (1)
Xét 3 trường hợp :
1. Với \(x>1\) , phương trình (1) trở thành : \(x-1+x-1=2\Leftrightarrow2x=4\Leftrightarrow x=2\) (thoả mãn)
2. Với \(x< 1\), phương trình (1) trở thành : \(1-x+1-x=2\Leftrightarrow2x=0\Leftrightarrow x=0\)(thoả mãn)
3. Với x = 1 , phương trình vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình : \(S=\left\{0;2\right\}\)
1) Cách 1:
Ta có ; \(A=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy :\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\) ;\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\) ; \(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)
\(\Rightarrow A\ge1+2+2+2=9\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\\\frac{b}{c}=\frac{c}{b}\\\frac{a}{c}=\frac{c}{a}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy Min A = 9 <=> a = b = c
Cách 2 : Sử dụng bđt Bunhiacopxki : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(1+1+1\right)^2=9\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{b+c-a}{a}=\dfrac{c+a-b}{b}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b-c=c\\b+c-a=a\\c+a-b=b\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2c\\b+c=2a\\c+a=2b\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(M=\left(1+\dfrac{b}{a}\right)\left(1+\dfrac{c}{b}\right)\left(1+\dfrac{a}{c}\right)=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)
Vậy M = 8
Thật sự ko hiểu bài của Tú dz ml -.- hình như mang tính phủ định hay sao ý 3d zô đây chỉ giáo
Lời giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{b+c-a}{a}=\dfrac{c+a-b}{b}=\dfrac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c+\left(a-a\right)+\left(b-b\right)+\left(c-c\right)}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Nên \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a+b-c}{c}=1\\\dfrac{b+c-a}{a}=1\\\dfrac{c+a-b}{b}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b-c=c\\b+c-a=a\\c+a-b=b\end{matrix}\right.\)
Trở lại bài toán ta có:
\(M=\left(1+\dfrac{b}{a}\right)\left(1+\dfrac{c}{b}\right)\left(1+\dfrac{a}{c}\right)=\dfrac{a+b}{a}.\dfrac{b+c}{b}.\dfrac{c+a}{c}\)
\(M=\left(\dfrac{b+c-a+c+a-b}{a}\right)\left(\dfrac{c+a-b+a+b-c}{b}\right)\left(\dfrac{a+b-c+b+c-a}{c}\right)\)
\(M=\dfrac{2c}{a}.\dfrac{2a}{b}.\dfrac{2b}{c}=\dfrac{8abc}{abc}=8\)
1)\(\dfrac{c-b}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{a-c}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{b-a}{\left(b-a\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)}=\dfrac{c-b+a-c+b-c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)