TN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
0
UN
1
ND
17 tháng 6 2018
Ta có:
\(\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\right)^2\ge0\Rightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+2.\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}\ge0\Rightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge\dfrac{2a}{c}\left(1\right)\)
Tương tự:
\(\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)^2\ge0\Rightarrow\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{2b}{a}\left(2\right)\)
\(\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\right)^2\ge0\Rightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{2c}{b}\left(3\right)\)
Từ (1)(2)(3) cộng vế theo vế ta được:
\(2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}\)
MN
0
NA
0
27 tháng 12 2019
Áp dụng
\(\left(x+y+z\right)^3=x^3+y^3+z^3+\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-3xyz\)
Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
=> \(2ab+2ac+2bc=0\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
KHi đó:
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^3=\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)-\frac{3}{abc}\)
=> \(0=\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+0-\frac{3}{abc}\)
=> \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
Có : (b+c)^2 <= 2 (b^2+c^2) => a^2/a^2+(b+c)^2 >= a^2+a^2+2b^2+2c^2 = 2a^2+2b^2+2c^2/a^2+2b^2+2c^2 - 1
Tương tự b^2/b^2+(c+a)^2 >= 2a^2+2b^2+2c^2/b^2+2c^2+2a^2 - 1
c^2/c^2+(a+b)^2 >= 2a^2+2b^2+2c^2/c^2+2a^2+2b^2 - 1
=> VT >= 2.(a^2+b^2+c^2).(1/a^2+2b^2+2c^2+1/b^2+2c^2+2a^2+1/c^2+2a^2+2b^2) - 3
>= 2.(a^2+b^2+c^2).(9/a^2+2b^2+2c^2+b^2+2c^2+2a^2+c^2+2a^2+2b^2) - 3 = 2.9/5 - 3 = 3/5 => ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c >0