TB
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
2 tháng 4 2018
Ta có : \(b\ge a\left(gt\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{b}{c}\ge\frac{a}{c}\left(\text{ c dương}\right)\Leftrightarrow\frac{c}{b}\ge\frac{c}{a}\) (1)
\(c\ge b\left(gt\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{c}{a}\ge\frac{b}{a}\left(a\text{ }dương\right)\) (2)
\(c\ge a\left(gt\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{c}{b}\ge\frac{a}{b}\left(b\text{ }\text{ dương}\right)\Leftrightarrow\frac{b}{c}\ge\frac{b}{a}\) (3)
Từ (1) , (2) và (3) ta có : \(\frac{c}{a}+\frac{b}{c}\ge\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\)
18 tháng 3 2020
Ta khai triển VT trước
\(VT=\frac{1-b-c+bc}{b+c}+\frac{1-c-a+ca}{c+a}+\frac{1-a-b+ab}{a+b}=\frac{\left(1-b\right)-c\left(1-b\right)}{1-a}+\frac{\left(1-c\right)-a\left(1-c\right)}{1-b}+\frac{\left(1-a\right)-b\left(1-a\right)}{1-c}=\frac{\left(1-c\right)\left(1-b\right)}{1-a}+\frac{\left(1-c\right)\left(1-a\right)}{1-b}+\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}{1-c}\)Với a,b,c luôn dương vào a+b+c=1 nên a,b,c<1\(\Rightarrow\)1-a,1-b,1-c>0
Áp dụng Cosi có \(\frac{\left(1-c\right)\left(1-b\right)}{1-a}+\frac{\left(1-c\right)\left(1-a\right)}{1-b}\ge2\left(1-c\right)\left(1\right)\).Tương tự: \(\frac{\left(1-c\right)\left(1-a\right)}{1-b}+\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}{1-c}\ge2\left(1-a\right)\left(2\right)\)
\(\frac{\left(1-c\right)\left(1-b\right)}{1-a}+\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}{1-c}\ge2\left(1-b\right)\left(3\right)\)
Cộng (1),(2) và (3) có \(2VT\ge2\left(3-a-b-c\right)\Leftrightarrow VT\ge3-1=2\)
NV
0
11 tháng 4 2017
Ta có:
\(\frac{ab}{a+b}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b\right)}=\frac{a+b}{4}\) (1)
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{bc}{b+c}\le\frac{b+c}{4}\\\frac{ca}{c+a}\le\frac{c+a}{4}\end{cases}}\)
Cộng 3 cái trên vế theo vế ta được
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
KS
11 tháng 4 2017
xin lỗi chị em mới học lớp 5 nên ko biết
Chúc chị luôn luôn học giỏi
(=^.^=) (>^.^<)
17 tháng 4 2018
cái này dễ để em làm cho:
\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
ta có\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{\left(a+b\right)-b}{a+b}+\frac{\left(b+c\right)-c}{b+c}+\frac{\left(c+a\right)-a}{c+a}\)
\(=1-\frac{b}{a+b}+1-\frac{c}{b+c}+1-\frac{a}{c+a}\)
\(=3-\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\right)\)
đặt E=\(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\)
\(>\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}\)(1)
\(\Rightarrow E>1\)
\(\Rightarrow3-E< 2\)
CHỨNG MINH TƯƠNG TỰ \(\frac{A}{A+B}+\frac{B}{B+C}+\frac{C}{C+A}< 1NHƯ\left(1\right)\)
\(\Rightarrowđpcm\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 7 2019
Bạn tham khảo tại link sau:
Câu hỏi của Nguyễn Thị Bình Yên - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
WY
2
10 tháng 11 2019
Câu này đơn giản !
Do a ,b là các số dương
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a+b>a+b\\2b+a>a+b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{2a+b}< \frac{a}{a+b}\\\frac{b}{2b+a}< \frac{b}{a+b}\end{cases}}\)
Cộng các vế tương ứng của các bất đẳng thức trên , ta có:
\(\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+a}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}=\frac{a+b}{a+b}=1\)
Vậy \(\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+a}< 1\)
KN
10 tháng 11 2019
Vì a,b dương nên:
\(\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+a}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}=1\)
Vậy \(\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+a}< 1\left(đpcm\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 3 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
\(\frac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\frac{a^2b}{b}}=2a\) ; \(\frac{b^2}{c}+c\ge2b\) ; \(\frac{c^2}{a}+a\ge2a\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
Ta có : \(\frac{a}{b+a}=\frac{b+a-b}{b+a}=1-\frac{b}{b+a}\)
\(\frac{a+c}{a+b+c}=\frac{b+c+a-b}{a+b+c}=1-\frac{b}{a+b+c}\)
Vì \(\frac{b}{b+a}>\frac{b}{a+b+c}\Rightarrow1-\frac{b}{b+a}< 1-\frac{b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b+a}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Vay \(\frac{a}{b+a}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Quy đồng 2 vế rồi khử mẫu ta có :
a^2+ab+ac<ab+a^2+bc+ac
=>a^2+ab+ac-a^2-ab-ac<bc
=>0<bc (luôn đúng do b,c>0)