Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :\(a^2+b=b^2+c\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=c-b\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)-\left(a-b\right)=c-b-a+b\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b-1\right)=c-a\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\left(b-c\right)\left(b+c-1\right)=a-b\\\left(a-c\right)\left(a+c-1\right)=c-b\end{cases}}\)
Nhận vế với vế của các đẳng thức trên ta được :
\(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b-1\right)\left(b+c-1\right)\left(a+c-1\right)=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b-1\right)\left(b+c-1\right)\left(a+c-1\right)=1\)
1) Liên hợp hay bình phương gì gì cx được nếu bạn rảnh =))
2)Giải PT : $5^{x}= 3^{x}+ 4^{x}$ - Các bài toán và vấn đề về PT - HPT - BPT - Diễn đàn Toán học
4) Câu hỏi của VanCan - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz vào bài toán , ta có :
\(Q=\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{9}{1^2}=9\) Dấu " = " xảy ra khi : \(\dfrac{1}{a^2+2ab}=\dfrac{1}{b^2+2ac}=\dfrac{1}{c^2+2ab}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow Q_{Min}=9\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Bài 1:
a: \(=\dfrac{1}{mn^2}\cdot\dfrac{n^2\cdot\left(-m\right)}{\sqrt{5}}=\dfrac{-\sqrt{5}}{5}\)
b: \(=\dfrac{m^2}{\left|2m-3\right|}=\dfrac{m^2}{3-2m}\)
c: \(=\left(\sqrt{a}+1\right):\dfrac{\left(a-1\right)^2}{\left(1-\sqrt{a}\right)}=\dfrac{-\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)^2}=\dfrac{-1}{a-1}\)
12. Ta có \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)
=> \(a^2-ab+3b^2+1\ge\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\)
Lại có \(\left(\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+1\right)\ge\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}b+1\right)^2\)
=> \(\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}\ge\frac{a}{4}+\frac{5b}{4}+\frac{1}{2}\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{4}{a+b+b+b+b+b+1+1}\le\frac{4}{64}.\left(\frac{1}{a}+\frac{5}{b}+2\right)\)
Khi đó
\(P\le\frac{1}{16}\left(6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+6\right)\le\frac{3}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Vậy \(MaxP=\frac{3}{2}\)khi a=b=c=1
13. Ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\le1\)
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)( BĐT cosi)
=> \(1\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)
=> \(a+b+c\ge6\)
Ta có \(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
=> \(\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự \(\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\),,\(\frac{c^3-a^2}{c^2+ac+a^2}=c-a\)
Cộng 3 BT trên ta có
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+c^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{c^2+bc+b^2}+\frac{a^3}{a^2+ac+c^2}\)
Khi đó \(2P=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+...\)
=> \(2P=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}+....\)
Xét \(\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\)
<=> \(3\left(a^2-ab+b^2\right)\ge a^2+ab+b^2\)
<=> \(a^2+b^2\ge2ab\)(luôn đúng )
=> \(2P\ge\frac{1}{3}\left(a+b+b+c+a+c\right)=\frac{2}{3}.\left(a+b+c\right)\ge4\)
=> \(P\ge2\)
Vậy \(MinP=2\)khi a=b=c=2
Lưu ý : Chỗ .... là tương tự
Từ \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2ab+2bc+2ca=0\Rightarrow ab+bc+ca=0\)
\(\Rightarrow bc=-ac-ca \Rightarrow a^2+2bc=a^2+bc-ca-ab\)
\(=\left(a-c\right)\left(a-b\right)\). Tương tự \(b^2+2ac=\left(b-a\right)\left(b-c\right);c^2+2ab=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\)
\(P=\sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+2bc}+\dfrac{b^2}{b^2+2ac}+ \dfrac{c^2}{c^2+2ab}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{a^2}{(a-b)(a-c) }+\dfrac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\dfrac{c^2}{(a-c)(b-c)}}=1\)
ngonhuminh
Ace Legona
Hu Hu!