Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ê cu vô cái link này nè http://olm.vn/hoi-dap/question/94896.html tui vừa chép xong
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Đặt x = a - b, y = b - c, z = c - a
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=0\\ay+bz+cx=ab-ac+bc-ab+ac-bc=0\end{matrix}\right.\)
+ \(ay+bz+cx=0\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{a}{y}+\dfrac{b}{z}+\dfrac{c}{x}\right)=0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{y^2}+\dfrac{bx}{xyz}+\dfrac{cz}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{y^2}=\dfrac{-bx-cz}{xyz}\)
+ Tương tự : \(\dfrac{b}{z^2}=\dfrac{-cy-ax}{xyz}\)
\(\dfrac{c}{x^2}=\dfrac{-az-by}{xyz}\)
Do đó : \(\dfrac{a}{y^2}+\dfrac{b}{z^2}+\dfrac{c}{x^2}=\dfrac{-a\left(x+z\right)-b\left(x+y\right)-c\left(y+z\right)}{xyz}\)
\(=\dfrac{ay+bz+cx}{xyz}\) ( do x + y + z = 0)
\(=0\) ( do ay + bz + cx = 0 )
Ta có: \(A=a\left(a^2-bc\right)+b\left(b^2-ac\right)+c\left(c^2-ab\right)=0\)
\(\Rightarrow A=a^3+b^3+c^3-3abc=0\) \(\Rightarrow A=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Rightarrow A=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow A=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
Vì \(a+b+c\ne0\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\)
Xét \(M=a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\)
\(\Rightarrow2M=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)
\(\Rightarrow2M=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Rightarrow a-b=0;b-c=0;c-a=0\) \(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow P=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=1+1+1=3\)
Điều kiện đã cho có thể được viết lại thành \(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+d}+\dfrac{d}{d+a}=2\)
hay \(1-\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{b}{b+c}+1-\dfrac{c}{c+d}-\dfrac{d}{d+a}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b}{a+b}-\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{d}{c+d}-\dfrac{d}{d+a}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b^2+bc-ab-b^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{d^2+da-cd-d^2}{\left(c+d\right)\left(d+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{d\left(a-c\right)}{\left(c+d\right)\left(d+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-a\right)\left[\dfrac{b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}-\dfrac{d}{\left(c+d\right)\left(d+a\right)}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}=\dfrac{d}{\left(c+d\right)\left(d+a\right)}\) (do \(c\ne a\))
\(\Leftrightarrow b\left(cd+ca+d^2+da\right)=d\left(ab+ac+b^2+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow bcd+abc+bd^2+abd=abd+acd+b^2d+bcd\)
\(\Leftrightarrow abc+bd^2-acd-b^2d=0\)
\(\Leftrightarrow ac\left(b-d\right)-bd\left(b-d\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-d\right)\left(ac-bd\right)=0\)
\(\Leftrightarrow ac=bd\) (do \(b\ne d\))
Do đó \(A=abcd=ac.ac=\left(ac\right)^2\), mà \(a,c\inℕ^∗\) nên A là SCP (đpcm)
A = \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)
A = \(\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a+b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cô - Si dạng Engel vào bài toán , ta có :
\(\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a+b\right)}\) ≥ \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\) ( * )
Ta lại có BĐT : x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx
⇒ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac
⇔ ( a + b + c)2 ≥ 3( ab + bc + ac)
⇔ \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}\) ≥ 3 ( **)
Từ ( *;**) ⇒ \(\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a+b\right)}\) ≥ \(\dfrac{3}{2}\)
⇒ \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\) ≥ \(\dfrac{3}{2}\)
Đời về cơ bản là buồn... cười!!!Phùng Khánh LinhHong Ra Onchú tuổi gìNguyễn Ngô Minh TríNhã Doanh, và nhiều bạn khác...
Lời giải:
\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b-c}=-(\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})=-\frac{ba-b^2+c^2-ca}{(c-a)(a-b)}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{(b-c)^2}=-\frac{ba-b^2+c^2-ca}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
Tương tự:
\(\frac{b}{(c-a)^2}=-\frac{a^2-ab+bc-c^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
\(\frac{c}{(a-b)^2}=-\frac{ac-a^2+b^2-bc}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
Do đó:
\(\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=-\frac{bc-b^2+c^2-ac+a^2-ab+bc-c^2+ac-a^2+b^2-bc}{(a-b)(b-c)(c-a)}=-0=0\)
Nếu $a,b,c$ đều âm, khi đó \(\frac{a}{(b-c)^2}< 0; \frac{b}{(c-a)^2}< 0; \frac{c}{(a-b)^2}< 0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}< 0\) (mâu thuẫn)
Nếu $a,b,c$ đều dương, khi đó \(\frac{a}{(b-c)^2}> 0; \frac{b}{(c-a)^2}> 0; \frac{c}{(a-b)^2}> 0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}>0\) (mâu thuẫn)
Trường hợp có từ 2 số trở lên bằng $0$ thì hoàn toàn vô lý.
Do đó, trong 3 số $a,b,c$ phải có một số âm và một số dương.